【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：平面的基本性质、空间两条直线A.docx

平面的基本性质、空间两条直线(教案)A
一、 学问梳理：（必修2教材第40页-第43页）
1、 平面：
（1）、平面的两个特征： ， 。
（2）、画法：通常用 表示平面。
（3）、平面的表示方法：用一个小写的希腊字母 等来表示平面，也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对的顶点的字母表示，如 ， 。
2、平面的基本性质：
公理1：假如一条直线的 点在一个平面内，那么这条直线上的全部点 在
这个平面内。这时我们就说 或 。
作用：
公理2：经过 同始终线的三点，有且只有 个平面。
也可以简洁地说成： 的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作： 。
作用：

公理2推论：
经过一条直线和直线 的一点，有且只有 个平面。
经过两条 直线，有且只有 个平面。
经过两条 直线，有且只有 个平面。
公理3：假如不重合的两个平面有 个公共点，那么它们有且只有 条过这个点的公共直线。
假如两个平面有一条公共直线，则称这两个平面 。这条公共直线叫做着两个平面的
作用：
（1）画两个相交平面时，，其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成 线或 。
（2）证明三点共线
（3）证明三线共点
3、两条直线的位置关系
（1）共面与异面直线：
共面直线：空间中的几个点或几条直线，假如都在 ，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有 和 两种。
异面直线： 的直线叫异面直线。
推断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内 的直线是异面直线。
（2）空间两条直线的位置关系分类：
两条异面直线所成的角：
两条异面直线的公垂线：
两条异面直线的距离：
（3）公理4（平行公理）：
（4）等角定量：
（5）符号语言：
点A在平面内，记作 ；点A不在平面内，记作
直线在平面内，记作 ；直线不在平面内，记作 。
平面与平面相交于直线, 记作 .
直线和直线相交于点A，记作 ，简记作： 。
基本性质可以用集合语言描述为：假如点A ，点B ，那么直线AB 。
二、 题型
探究一：平面的基本性质
例1：（1）一条直线和直线外三个点能确定的平面的个数是 ；
（2）已知直线a，b是异面直线，在直线a上取三点，在直线b上取5个点能确定的平面个数是 ；

例2：在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，假如直线EF与GH相交于P，由点P（ ）
（A）确定在直线BD上 （B）确定在直线AC上
（C）在直线AC或BD上 （D）不在直线AC上也不在直线BD上。

探究二：空间两条直线
例3：下列命题正确命题的个数是（）
（1）若两条直线与第三条直线的夹角相等，则这两条直线平行；
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
（4）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例4：在正方体A1B1C1D1—ABCD中，若AB=BC=2，A1A=1 ，求异面直线B1D与BC1所成角
的余弦值。
例5：已知ABCD是正四周体，E，F分别是AB与CD的中点。求异面直线EF与AD所成的角。

三、方法提升
1、空间两条直线的位置关系有：平行、相交 、异面，利用它们去推断命题时要留意否定一种，另外两种都有成立的可能，如两条直线不相交，则两条直线平行或异面。
2、对于两直线垂直，要留意两直线可以相交垂直或异面垂直。
3、异面直线所成的角是立体几何中一个重要的概念，它的求法体现了立体几何将空间转化为平面的基本思想，要把握常用解法。
四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 （）
A.相交． B.异面 C.平行． D.相交或异面．
2. a、b是两条异画直线,c、d小也是两条异面直线．，则a、c的位置关系是（）
A.相交、平行或异面． B.相交或平行．
C.异面 D.平行或异面．
3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，各侧面对角线所在的直线中与Bl D成异面直线的条数是（ ）
A.3． B.4． C.5． D.6．
4. 异面直线a、b分别在平面和内，若α∩β=l,则直线l必定（ ）
A.分别与a、b相交． B.与a、b都不相交．
C.至多与a、b中的一条相交． D.至少与a、b中的一条相交．
5. 空间四边形ABCD中AB=CD，且AB与CD成60°角，E，F分别为AC，BD的中点，则EF与AB所成角的度数为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或60°
二、填空题
6.在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上）
7. 异面直线a,b所成角为80º，过空间一点作与直线a,b所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为 .
8. 假如把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共
有 对异面直线。
9. 正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，E是VA中点，O是底面中心，异面直线EO与BC所成的角是 .
10. 已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条相互垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出全部正确结论的编号）．
三、解答题
11. 已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证b和c是异面直线．

12. 已知：E、F 、G、H依次是空间四边形ABCD各边的中点．
(1)求证四边形EFGH是平行西边形；
(2)若对角线BD=2,AC=4 ，求EG2＋HF2.

13. 设A是 △BCD所在平面外的一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN∥BD.

14. 如图，A、B、C、D是异面直线AB、CD上的点，线段AB=CD=4，M为AC的中点,
N为BD的中点，MN=3，求异面直线AB、CO、所成角的余弦值．

15. 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别是BC和AD的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值.

课时作业参考答案
1.D 2.A 3.D 4.D 5.D
6. ② 7. 40º<θ<50º 8. 24. 9.
10. 对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异面直线．所以①为真．
对于命题②，过平面内两条相互垂直的直线分别作两个垂直于平面的平面，则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线，即②亦真．
对于命题③，当射影为同一条直线时，两条直线同在过这条直线并与平面口垂直的平面內，即共面．故③为假．
同样可推知④为真．
【标准答案】①②④
11. 〖证明〗假设b和c不是异面直线,则b和c共面,∵直线b与c不相交，∴b∥c.
又直线c∥a ∴b∥a.这与已知直线a和b是异面直线与冲突.故b和c是异面直线．
12.〖解〗

13. 〖证明〗

14. 〖解〗
15. 〖解〗