高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-数学归纳法在证明恒等式中的应用.docx

数学归纳法在证明恒等式中的应用
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，是证明与正整数n有关的数学命题的一种重要方法，也是高考的热点问题之一．不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查．既要求擅长发觉、归纳结论，又要求能证明结论的正确性．数学归纳法的应用格外广泛．下面就数学归纳法在证明恒等式中的应用问题加以规律总结与实例剖析．
1．证明恒等式中的规律
数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其一般规律及方法：
关键在于其次步，它有一个基本格式，不妨设命题为：P（n）：f（n）=g（n），
其其次步相当于做一道条件等式的证明题：已知：f（k）=g（k），求证：f（k+1）=g（k+1）．
通常可接受的格式分为三步：
（1）找出f（k+1）与f（k）的递推关系；（2）把归纳假设f（k）=g（k）代入；（3）作恒等变形化为g（k+1）．
示意图为：
结构相同
递推
恒等变形
归纳假设
f（k+1）=f（k）+ak=g（k）+ak=g（k+1）

当然递推关系不愿定总是象f（k+1）=f（k）+ak这样的表达式，因此更为一般性的示意图为：
f（k+1）=F[f（k），k，f（1）]=F[g（k），k，g（1）]=g（k+1）．
2．证明恒等式中的应用
（1）代数恒等式的证明
例1．用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3n－2）=n（3n－1）（n∈N*）．
分析：在其次步的证明过程中通过利用归纳假设，结合等式的变换与因式分解、变形，从而得以证明．
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，所以当n=1时，命题成立；
（2）假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即1+4+7+…+（3k－2）=k（3k－1），
则当n=k+1时，
1+4+7+…+（3k－2）+[3（k+1）－2]=k（3k－1）+（3k+1）=（3k2+5k+2）=（k+1）（3k+2）=（k+1）[3（k+1）－1]，
即当n=k+1时，命题成立；
依据（1）、（2）可知，对一切n∈N*，命题成立．
点评：数学归纳法的证明过程格外讲究“形式”，归纳假设是必需要用到的，假设是起到桥梁作用的，桥梁不用或是断了，数学归纳就通不过去了，递推性无法实现．在由n=k时结论正确证明n=k+1时结论也正确的过程中，确定要用到归纳假设的结论，即n=k时结论．
变形练习1：已知n∈N*，证明：1－+－+…+－=++…+．
答案：（1）当n=1时，左边=1－=，右边=，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即有1－+－+…+－=++…+，
那么当n=k+1时，左边=1－+－+…+－+－=++…++－=++…++[－]=++…++=右边，
所以当n=k+1时等式也成立；
综合（1）、（2）知对一切n∈N*，等式都成立．
（2）三角恒等式的证明
例2．用数学归纳法证明：tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（n－1）xtannx=－n（n≥2，n∈N*）．
分析：本题在由假设当n=k时等式成立，推导当n=k+1时等式也成立时，要机敏应用三角公式及其变形公式．本题中涉及到两个角的正切的乘积，联想到两角差的正切公式的变形公式：tanαtanβ=－1，问题就会迎刃而解．
证明：（1）当n=2时，左边=tanxtan2x=tanx·=，右边=－2=－2=－2=，等式成立；
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx=－k，
则当n=k+1时，tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx+tankxtan（k+1）x=－k+tankxtan（k+1）x， （*）
由tanx=tan[（k+1）x－kx]=，
可得tankxtan（k+1）x=－1，
代入（*）式，可得右边=－k+－1=－（k+1），
即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx+tankxtan（k+1）x=－（k+1），
即当n=k+1时，等式也成立；
由（1）、（2）知等式对任何n∈N*都成立．
点评：数学归纳法在其次步的证明中，“当n=k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标．在这一步中，一般首先要先凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再进一步凑出n=k+1时的结论．要正确选择与命题有关的学问及变换技巧．
变形练习2：用数学归纳法证明：cos·cos·cos·…·cos=（n∈N*）．
答案：（1）当n=1时，左边=cos，右边===cos，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即有cos·cos·cos·…·cos=
则当n=k+1时，cos·cos·cos·…·cos·cos=·cos
=·cos=，即当n=k+1时，等式也成立；
由（1）、（2）知等式对任何n∈N*都成立．