《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第二章-第6讲-指数与指数函数-轻松闯关.docx

1．(2021·北京模拟)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于y轴对称　　　　　　 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选A.∵y＝＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9，81] B．[3，9]
C．[1，9] D．[1，＋∞)
解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正确．
3．(2021·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)＞f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)＜f(1) D．不能确定
解析：选A.由题意知a＞1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3＞a2，∴f(－4)＞f(1)．
4．函数y＝＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(　　)

解析：选A.由题易知，函数y＝＋1的图象过点(0，2)关于直线y＝x对称的图象确定过(2，0)这个点．由于原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排解B，C，D.
5．(2021·浙江丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，1) B．(－4，3)
C．(－1，2) D．(－3，4)
解析：选C.原不等式变形为m2－m<，
∵函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，
∴≥＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立，
等价于m2－m<2，解得－1<m<2.
6．(2021·四川绵阳一诊)计算：2××＝________．
解析：2×3××12＝2×3×3×2－×3×2＝2×3＋＋×2－＋＝6.
答案：6
7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍去)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)＞f(n)，得m＞n.
答案：m＞n
8．已知函数f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m，2)，则m＋n＝________．
解析：当2x－4＝0，即x＝2时，y＝1＋n，即函数图象恒过点(2，1＋n)，又函数图象恒过定点P(m，2)，所以m＝2，1＋n＝2，即m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
答案：3
9．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝ .
解：(1)明显定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝为减函数．
∴≥＝.
故函数y＝的值域为.
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
∵y＝3x为增函数，∴2x－1≥－2，即x≥－，
此函数的定义域为，
由上可知32x－1－≥0，∴y≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(由于若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不行能为R.)
故a的值为0.

1．已知f(x)＝ax和g(x)＝bx是指数函数，则“f(2)>g(2)”是“a>b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题可得，a，b>0且a，b≠1，充分性：f(2)＝a2，g(2)＝b2，由f(2)>g(2)知，a2>b2，再结合y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，可知a>b，故充分性成立；必要性：由题可知a>b>0，构造h(x)＝＝＝，明显>1，所以h(x)单调递增，故h(2)＝>h(0)＝1，所以a2>b2，故必要性成立．故选C.
2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝在x∈[0，4]上解的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由f(x－1)＝f(x＋1)，可知T＝2.
∵x∈[0，1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，
∴可得图象如图所示．

∴f(x)＝在x∈[0，4]上解的个数是4.故选D.
3．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0

4．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
解析：由3|x|＝1，得x＝0，由3|x|＝9，得x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n，2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.
答案：4　2
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0有解，求k的取值范围．
解：(1)由f(x)为奇函数，知f(0)＝＝0，∴b＝1.
(2)∵f(x)为奇函数，由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得
f(t2－2t)<f(k－2t2)．
由(1)知b＝1时，f(x)＝＝－＋在R上是增函数，∴t2－2t<k－2t2.
即k>3t2－2t＝3－≥－.
∴k的取值范围为k>－.
6．(选做题)已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵x∈[－1，1]，∴f(x)＝∈，
设t＝∈.
则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a<时，ymin＝h(a)＝φ＝－；
当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a>3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
∴h(a)＝
(2)假设存在m，n满足题意．
∵m>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是减函数，
又∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，
∴
②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，
即m＋n＝6，与m>n>3冲突，
∴满足题意的m，n不存在．