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《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第五章-第4讲-数列求和.docx
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1、第4讲数列求和1等差数列的前n项和公式Snna1d2等比数列的前n项和公式Sn3一些常见数列的前n项和公式(1)1234n;(2)13572n1n2;(3)24682nn2n做一做1数列an的通项公式是an,其前n项和为9,则n等于()A9B99C10 D100答案:B2等差数列an的通项公式为an2n1,其前n项的和为Sn,则数列的前10项的和为()A120 B100C75 D70解析:选C.Snn(n2),n2.故75.1辨明两个易误点(1)使用裂项相消法求和时,要留意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不行漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点(2)在应用错位相减法求和时
2、,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种状况求解2数列求和的常用方法(1)倒序相加法:假如一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法:假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和(4)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用
3、分组转化法,分别求和后再相加减(5)并项求和法:一个数列的前n项和,可两两结合求解,则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型,可接受两项合并求解做一做3若Sn123456(1)n1n,则S50_答案:254若数列an的通项公式为an2n2n1,则数列an的前n项和为_解析:Sn2n12n2.答案:2n1n22_分组法求和_(2022高考湖南卷)已知数列an的前n项和Sn,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2an(1)nan,求数列bn的前2n项和解(1)当n1时,a1S11;当n2时,anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann,故bn2n(1)nn
4、.记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n(212222n)(12342n)记A212222n,B12342n,则A22n12,B(12)(34)(2n1)2nn,故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.规律方法1.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn,且bn,cn为等差或等比数列,可接受分组求和法求an的前n项和;(2)通项公式为an的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可接受分组求和法求和2本题中求前2n项和转化为求数列22n与(1)nn的和,在求(1)nn的和时,又利用了并项求和法1.已知等比数列an中,首项a13,公比q1,且3(an2an)10an10(nN*
5、)(1)求数列an的通项公式;(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解:(1)3(an2an)10an10,3(anq2an)10anq0,即3q210q30.公比q1,q3.又首项a13,数列an的通项公式为an3n.(2)是首项为1,公差为2的等差数列,bnan12(n1)即数列bn的通项公式为bn2n13n1,前n项和Sn(13323n1)13(2n1)(3n1)n2._错位相减法求和_(2021浙江宁波高三模拟)设an是等差数列,bn是各项都为正数的等比数列,且a11,b12,a2b310,a3b27.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列
6、bn的前n项和为Sn,记cnan,nN*,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意得把a11,b12代入得消去d得2q2q60,(2q3)(q2)0,bn是各项都为正数的等比数列,q2.进而d1,ann,bn2n.(2)Sn2n12,cnann(2n1)n2nn,设Wn121222323n2n,2Wn122223(n1)2nn2n1,相减,可得Wn(n1)2n12,TnWn(n1)2n12.规律方法用错位相减法求和时,应留意:(1)要擅长识别题目类型, 特殊是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确写出“SnqSn”的表达式
7、2.(2021大庆市其次次质检)已知数列an的前n项和为Sn,a11,an12Sn1(nN*),等差数列bn中,公差d2,且b1b2b315.(1)求数列an、bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)a11,an12Sn1(nN*),an2Sn11(nN*,n1),an1an2(SnSn1)2an,an13an(nN*,n1),又a22a113,a23a1,数列an是以1为首项,3为公比的等比数列,ana1qn13n1.b1b2b315,b25,又d2,b1b2d3.bn32(n1)2n1.(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1,3Tn3353
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