2021高中数学北师大版必修一导学案：《函数模型及其应用》.docx

第4课时　函数模型及其应用

1.把握求解函数应用题的基本步骤,并能利用常见的函数模型解决实际问题.
2.能够依据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.

前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简洁的实际问题;另外在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的机敏选择以及应用的问题,本节课就来争辩这类问题.

问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些?
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?
(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?
(3)解函数应用问题的基本步骤是什么?
(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关帮助变量,并用x、y和帮助变量表示各相关量,然后依据问题的　　　　,运用已把握的数学学问、物理学问及其他相关学问建立　　　　,在此基础上将　　　　问题转化为一个　　　　问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型. 
(2)①　　　　:建立直角坐标系,画出散点图; 
②　　　　　　　　:依据散点图设想比较接近的可能的函数模型. 
例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.
③　　　　　　:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型. 
(3)第一步:阅读理解,审清题意.
其次步:引进数学符号,建立　　　　. 
第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.
第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.
问题3:(1)对于一些函数实际应用问题,我们该如何分析?
(2)数学模型的实质是什么?
(1)把问题模型化,思考我们要争辩的问题与我们学习过的学问有何关系,把实际问题转化为　　　　　　去争辩,利用函数性质特点求解出数学问题,再转化为实际问题的解. 
(2)数学模型是用　　　　模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用　　　　来表达,数学模型可接受各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等. 

1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为(　　).
A.200副　　 B.400副 C.600副 D.800副
2.某公司聘请员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1≤x<10,x∈N+,2x+10,10≤x<100,x∈N+,1.5x,x≥100,x∈N+,其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　　).
A.15 B.40 C.25 D.130
3.一个水池每小时注入水量是全池的110,水池还没有注水部分与总量的比y随时间x(小时)变化的解析式为　　　　. 
4.某人有资金2000元,拟投入在复利方式下年酬劳为8%的投资项目,大约经过多少年后能使现有资金翻一番?(下列数据供参考:lg 2≈0.3010,lg 5.4≈0.7324,lg 5.5≈0.7404,lg 5.6≈0.7482)

用已知函数模型解决实际问题
某县目前有100万人,经过x年后有y万人,假如年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).

分段函数模型的应用
WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟,不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.问:
(1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费?
(2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机可以上多少分钟的网?
(3)你会选择WAP手机上网吗?若用电脑上网的收费为60元/月,你会用哪一种方式上网?

建立拟合函数模型解决实际问题
某个体经营者把开头六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40

投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51

　　该经营者预备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算,请你挂念制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).

分贝是表示声音强度相对大小的单位,物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级,声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.
(1)依据上述材料列出声压级y与声压P的函数关系式;
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地区为以上所说的什么区?
(3)2021年春节联欢晚会上,某小品类节目上演时,现场响起多次洪亮的掌声,某报记者用仪器测量到最洪亮的一次音量达到90分贝,试求此时中心电台大厅的声压是多少帕?

某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N+)(天)之间的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N+)(天)之间的关系如表:

第t天
5
15
20
30
Q件
35
25
20
10

　　(1)依据供应的图像,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系.
(2)依据表中供应的数据,确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式.
(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)

为了估量山上积雪溶化后对下游浇灌的影响,在山上建立了一个观看站,测量最大积雪深度x与当年浇灌面积y,现有连续10年的实测资料,如下表所示.
年序
x
y
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9

　　(1)描点画出浇灌面积随积雪深度的图像.
(2)建立一个能基本反映浇灌面积变化的函数模型,并画出图像.

1.某种商品2022年提价25%,2021年欲恢复成原价,则应降价(　　).
A.30%　　　 B.25%　 C.20%　　　 D.15%
2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么(　　).
A.人可在7秒内追上汽车 B.人可在10秒内追上汽车
C.人追不上汽车,其间距最少为5米 D.人追不上汽车,其间距最少为7米
3.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用　　　　作为拟合模型较好. 
4.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发觉此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系:
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0

(1)在所给坐标系中,依据表中供应的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数关系式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,依据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润.

用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是　　　　(lg 2≈0.3010). 
考题变式(我来改编):

答案
第4课时　函数模型及其应用
学问体系梳理
问题2:(1)已知条件　关系式　实际　函数　(2)①建系　②初步选择函数模型　③择优函数模型　(3)数学模型
问题3:(1)函数模型　(2)数学语言　数学语言
基础学习沟通
1.D　由5x+4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.
2.C　令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意;
若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.
故拟录用人数为25.
3.y=1-x10,0≤x≤10　y=1-x10,0≤x≤10.
4.解:设经过x年后能使现有资金翻一番,则2000×(1+8%)x=4000,即1.08x=2.
两边取对数,有x=lg2lg1.08=lg2lg5.45=lg2lg5.4-(1-lg2)≈0.30100.7324-1+0.3010≈9.01.
所以,经过10年后才能使现有资金翻一番.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)当x=1时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%);
当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2;
当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;
…
故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(x∈N+).
(2)当x=10时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人.
(3)设x年后该县的人口总数为120万,则100×(1+1.2%)x=120,所以 x=log1.012120100≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万.
【小结】解决此类问题时肯定要留意不要将次幂搞错.解决本题的另一个难点就是不能正确地进行指对互化,进而利用对数的运算来求解.
探究二:【解析】设使用WAP手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;当上网时间超过500分钟时,在30元的基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费为:
y=0.5x,1≤x<60,30,60≤x≤500,30+0.15(x-500),x>500.
(1)当x=20×60=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费.
(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,小周这个月用手机可以上网900分钟.
(3)当1≤x<60时,ymax<30元;当60≤x≤500时,ymax=30元,当x>500时,30+0.15(x-500)=60⇒x=700,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.
【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要留意各段变量的范围,特殊是端点值.
探究三:【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.

观看散点图可以看出,A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.
取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把(1,0.65)代入得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,
所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟.
设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入得
0.25=k+b,1=4k+b,解得k=0.25,b=0,所以y=0.25x.
综上,前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设下月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),总利润为W(万元),那么
xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB.
所以W=-0.15(xA-196)2+0.15×(196)2+2.6.
当xA=196≈3.2(万元)时,W取最大值,约为4.1万元,此时xB≈8.8(万元).
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.
【小结】本题依据给定的数据画出散点图,然后依据散点图的“走向”找到其拟合函数,依据题意得出总利润与投资A产品的金额之间的函数关系,最终转化为二次函数的最值问题.
思维拓展应用
应用一:(1)由已知得y=20lgPP0=20lgP2×10-5.
(2)当P=0.002时,y=20lg0.0022×10-5=40,∵y<60,∴该地区为无害区.
(3)设中心电视台大厅的声压是x帕,则当y=90时,有lgx2×10-5=9020=4.5,∴x=105,∴此时中心电视台大厅的声压是105帕.
应用二:(1)由图可得:
P=t+20(0<t<25,t∈N+),-t+100(25≤t≤30,t∈N+).
(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q=-t+40(0<t≤30,t∈N+).
(3)由题意
y=(t+20)(-t+40)(0<t<25,t∈N+),(-t+100)(-t+40)(25≤t≤30,t∈N+)
=-(t-10)2+900(0<t<25,t∈N+),(t-70)2-900(25≤t≤30,t∈N+),
当0<t<25,t=10时,ymax=900,
当25≤t≤30,t=25时,ymax=(25-70)2-900=1125,
故当t=25时,日销售金额最大且最大值为1125元.
应用三:(1)利用计算机几何画板软件,描点如图.

(2)从上图可以看到,数据点大致落在一条直线四周,由此,我们假设浇灌面积y和最大积雪深度x满足线性模型:y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,
得21.1=a+10.4b,45.8=a+24.0b,
用计算器可得a≈2.4,b≈1.8,
这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x,画图略.
基础智能检测
1.C　设2022年提价前的价格为a,2021年要恢复成原价应降价x,于是有a(1+25%)(1-x)=a,解得x=15,即应降价20%.
2.D　设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7,故选D.
3.甲　将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得,前两个点均适合,但第三个点更适合甲,比较发觉选甲更好.
4.解:实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知y是x的一次函数.

(1)设f(x)=kx+b,则60=30k+b30=40k+b,解得k=-3,b=150.
∴f(x)=-3x+150,30≤x≤50.检验成立.
(2)P=(x-30)·(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30≤x≤50,∴对称轴x=-2402×(-3)=40∈[30,50].
故当销售单价为40元时,所获利润最大.
全新视角拓展
4　设至少要洗x次,则(1-34)x≤1100,
∴x≥1lg2≈3.322,∴需4次.
思维导图构建
二次函数模型　反比例函数模型　指数函数模型　对数函数模型　幂函数模型