高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-拓展资料：均值性质的巧用.docx

均值性质的巧用
离散型随机变量的均值作为随机变量数字特征之一，反映了随机变量取值的平均水平．通常状况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最终用均值的定义求解．但这一解法有时运算较大、运算过程较为简洁，稍不留心还会毁灭运算错误．下面介绍均值的一共性质，可以简化解题．
性质：设为个随机变量，
则．
面举例说明离散型随机变量的均值的这一性质在解题中的巧用．

例1　某先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班．若该地各路段发生堵车大事都是独立的，且在同一路段发生堵车最多只有一次，发生堵车大事的概率如图．
（例如：算作两个路段：路段发生堵车大事的概率为，路段发生堵车大事的概率为）．
若记路线中遇到堵车次数为随机变量Ｘ，求Ｘ的均值．
分析：按一般方法，先求出随机变量Ｘ取每个可能值的概率，得到分布列，再利用均值的定义求解．此法虽然自然，但其中的数据简洁、运算量大、极易出错．我们留意到，路线可以分解为路段、路线、线段．自然地，线段中遇到的堵车次数可以由这3个路段分别遇到的堵车次数相加而得到，再利用均值的性质求解．
解：设分别为路段，，中遇到的堵车次数，则．
；；，
．

例2　盒子内有大小相同的10个球，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒内摸一个球，看后放回，其次次再摸一个球．记两次摸到球的标号之和为ξ，求随机变量ξ的期望．
分析：可先求ξ的分布列，再用定义求解．若先把两次摸球所得标号的期望分别求出，再用性质，结果更易得．
解：设第一次、其次次摸到球的标号分别为，，则的分布列如下：

1
2
3

同理．
．