2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第一章1.4知能演练轻松闯关.docx

1．下列不属于优化问题的是(　　)
A．汽油的使用效率何时最高
B．磁盘的最大存储量问题
C．求某长方体容器的容积
D．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
解析：选C.选项A、B、D中明确提出了问题与求最值有直接的关系，是优化问题．而选项C仅要求求出容积，不是优化问题．故选C.
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C.令导数y′＝－x2＋81＞0，解得x＜9，又x＞0，∴0＜x＜9；
令导数y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9，
∴函数y＝－x3＋81x－234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，
∴在x＝9处取极大值，也是最大值，故选C.
3．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
4．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C.设底面边长为x，侧棱长为l，则
V＝x2·sin 60°·l，
∴l＝.
∴S表＝x2sin 60°＋3xl＝x2＋，
∴S表′＝x－，
令S表′＝0，即x－＝0，∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，S表′＜0；
当x∈(，V)时，S表′＞0，
∴当x＝时，表面积最小．
5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高应为(　　)
A. cm B. cm
C．5 cm D. cm
解析：

选D.设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202，∴r＝ .
∴圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)．令V′＝π(400－3h2)＝0，得h＝，当h＜时，V′＞0；当h＞时，V′＜0.
∴h＝时，V最大，应选D.
6．(2021·杭州调研)某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当每件商品的定价为__________元时，利润最大．
解析：利润s(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，s′(x)＝－2x＋230.由s′(x)＝0，得x＝115，这时利润最大．
答案：115
7．某银行预备设一种新的定期存款业务，经猜想，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸取的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．
解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．
当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.
因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．
答案：3.2%
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，假如在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.因此，两项费用之和为y＝＋(x＞0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y取得微小值，也是最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
9．如图所示，设铁路AB＝50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，大路费用为4，问在AB上何处修建大路至C，可使运费由A至C最省．

解：设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋，
令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x＜时，p′(x)＜0；当x＞时，p′(x)＞0，故当x＝时，取得最小值．
即当离点B距离为的点M处修筑大路至C时，可使运费由A到C最省．
10．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱外形的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0<x<30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0，
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.

1．横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为(　　)
A.d，d B.d，d
C.d，d D.d，d
解析：选C.如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．

∵y2＝d2－x2，
∴xy2＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．
令f(x)＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．
求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，
解得x＝d或x＝－d(舍去)．
当0＜x＜d时，f′(x)＞0；当d＜x＜d时，f′(x)＜0，
∴当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
∴当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
2．将边长为1 m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则
S＝＝·(0＜x＜1)．
法一：利用导数求函数最小值．
S(x)＝·，
S′(x)＝·
＝·，
S′(x)＝0,0＜x＜1，x＝，
当x∈时，S′(x)＜0，递减；当x∈时，S′(x)＞0，递增；
故当x＝时，S的最小值是.
法二：利用函数的方法求最小值．
令3－x＝t，t∈(2,3)，∈，则S＝·＝·，
故当＝，x＝时，S的最小值是.
答案：
3．有时可用函数
f(x)＝，
描述学习某学科学问的把握程度，其中x表示某学科学问的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科学问的把握程度，正实数a与学科学问有关．
(1)证明：当x≥7时，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)依据阅历，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科学问6次时，把握程度是85%，请确定相应的学科．
解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，
且(x－3)(x－4)＞0，
∴f(x＋1)－f(x)单调递减，
∴当x≥7时，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln＝0.85，
整理得＝e0.05，
解得a＝×6≈20.50×6＝123∈(121,127]，
由此可知，该学科是乙学科．
4．两县城A和B相距20 km，现方案在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建筑垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数；
(2)争辩(1)中函数的单调性，并推断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
解：(1)如图，由题意知AC⊥BC，AC＝x km，则BC2＝400－x2，y＝＋(0＜x＜20)．

由题意知，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，即当x＝10时，y＝0.065，代入y＝＋得k＝9.所以y表示成x的函数为y＝＋(0＜x＜20)．
(2)由于y＝＋，所以y′＝－－＝，令y′＝0得x＝4或x＝－4(舍去)，当0＜x＜4时，18x4＜8(400－x2)2，即y′＜0，此时函数为单调减函数；当4＜x＜20时，18x4＞8(400－x2)2，即y′＞0，此时函数为单调增函数．所以当x＝4时，即当C点到城A的距离为4时，函数y＝f(x)＝＋(0＜x＜20)有最小值f(4)＝.