【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题11(计数原理与概率(理)-概率(文)).docx

阶段性测试题十一(计数原理与概率(理)　概率(文))
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．1,2，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述大事中，是对立大事的是(　　)
A．①　　　　　　　 B．②④
C．③ D．①③
[答案]　C
[解析]　从　1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共有三种互斥大事，所以只有③中的两个大事才是对立的．
2．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最终任凭停留在黑色地板上的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　由几何概型的概率公式可得，P＝＝.
3．(文)一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　全部基本大事总数为52，大事“摸到一张红心”包含的基本大事数为13，则摸到红心的概率为＝.
(理)将5名同学分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中同学甲不到A宿舍的不同分法有(　　)
A．18种 B．36种
C．48种 D．60种
[答案]　D
[解析]　当甲一人住一个寝室时有：C×C＝12种，
当甲和另一人住一起时有：C×C×C×A＝48.
所以有12＋48＝60种．
4．(文)现釆用随机模拟的方法估量某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281
依据以上数据估量该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　)
A． 0.852 B． 0.8192
C．0.8 D． 0.75
[答案]　D
[解析]　随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P＝＝0.75.
(理)已知随机变量ξ听从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，则P(ξ<0)＝(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[答案]　B
[解析]　∵随机变量ξ听从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝0.4，
∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故选B．
5．(文)某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率是，响第2声时被接的概率是，响第3声时被接的概率是，响第4声时被接的概率是，那么电话在响前4声内被接的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　P＝＋＋＋＝.
(理)(2022·四川高考)在x(1＋x)6的开放式中，含x3项的系数为(　　)
A．30 B．20
C．15 D．10
[答案]　C
[解析]　本题考查了二项式定理和二项开放式的系数，x3的系数就是(1＋x)6中的第三项即为C＝15.
6．(文)设函数f(x)＝x2－x＋2，x∈[－5,5]．若从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为(　　)
A．0.5 B．0.4
C．0.3 D．0.2
[答案]　C
[解析]　由f(x)＝x2－x－2≤0得：－1≤x≤2，所以从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为＝0.3.
(理)某老师一天上3个班级的课，每班一节，假如一天共9节课，上午5节、下午4节，并且老师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位老师一天的课的全部排法有(　　)
A．474种 B．77种
C．464种 D．79种
[答案]　A
[解析]　首先求得不受限制时，从9节课中任意支配3节，有A＝504种排法，其中上午连排3节的有3A＝18种，下午连排3节的有2A＝12种，则这位老师一天的课的全部排法有504－18－12＝474种，故选A．
7．(文)先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn是奇数，则m，n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P＝＝.
(理)(2021·武汉期末)若随机变量η的分布列为
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　)
A．x≤2 B．1≤x≤2
C．1<x≤2 D．1<x<2
[答案]　C
[解析]　由随机变量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.
8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的确定值为2或4的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字之差的确定值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为＝.
9．(2021·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A、B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)⇒⇒.
那么S△ABC＝×10×10sin75°＝×10×10×＝25(3＋)．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.
10．(文)连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　基本大事总数为36，由cosθ＝≥0得a·b≥0，即m－n≥0，包含的基本大事有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝＝.
(理)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的大事；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的大事．则下列结论中正确的是(　　)
①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③大事B与大事A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的大事．
A．②④ B．①③
C．②③ D．①④
[答案]　A
[解析]　由题意知P(B)的值是由A 1，A2，A3中某一个大事发生所打算的，故①③错误；
∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；由互斥大事的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.
第Ⅱ卷(非选择题　共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．抛掷一粒骰子，观看掷出的点数，设大事A为毁灭奇数点，大事B为毁灭2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则毁灭奇数点或2点的概率为________．
[答案]　
[解析]　P＝＋＝.
12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝，现在向该正方形区域内随机的投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是________．
[答案]　1－
[解析]　斜边为2，且较小的锐角θ＝的直角三角形的面积
S＝×2×2×cos×sin＝，
记飞镖落在小正方形内为大事A，
则P(A)＝＝1－.
13．(文)假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名同学，并且这50名同学早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．
[答案]　
[解析]　将3人排序共包含6个基本大事，由古典概型得P＝.
(理)(2021·湖南师大附中月考)将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴4个不同的学校支教，则不同的支配方案共有________种(用数字作答)．
[答案]　1080
[解析]　CCA＝1080.
14．(文)集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m>n的概率是________．
[答案]　
[解析]　基本大事总数为5×5＝25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1,3；m＝6时，n＝1,3,5；m＝8时，n＝1,3,5,7；m＝10时，n＝1,3,5,7,9，共15个．故P＝＝.
(理)(2022·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券支配给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．
[答案]　60
[解析]　本题考查排列组合问题．不同的获奖分两种：一是有一人获两张，一人获一张，共CA＝36，二是三人各获一张，共有A＝24，故共有60种．
15．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．
[答案]　
[解析]　∵直线与圆有公共点，∴≤1，
∴－≤k≤.故所求概率为P＝＝.
(理)(2021·浙江名校联考)甲、乙等5名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这5名志愿者中参与A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为________．
[答案]　
[解析]　依据题意，5名志愿者被随机支配到A、B、C、D四个不同岗位，每个岗位至少一人，共有CA＝240种，而ξ＝1,2，则P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，故E(ξ)＝1×＋2×＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)(文)公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其推断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位：毫克)的统计结果如下表：
X
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
[100，＋∞)
人数
t
1
2
1
1
1
依据上述材料回答下列问题：
(1)求t的值：
(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率．
[解析]　(1)200－6＝194
(2)令酒后驾车的司机分别为A、B、C、D，醉酒驾车的司机分别为a，b，则全部抽取的可能(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，D)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，C(C，b)，(a，b)(C，D)，(D，a)，(D，b)
则含有醉酒驾车司机概率为＝.
(理)为了对某课题进行争辩，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成争辩小组，有关数据见下表(单位：人)
科研单位
相关人数
抽取人数
A
16
x
B
12
3
C
8
y
(1)确定x与y的值；
(2)若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率．
[解析]　(1)依题意得，＝＝，解得x＝4，y＝2.
(2)由(1)知从科研单位A抽取了4人，从科研单位C抽取了2人，从中选取2人作专题发言．
记“选中的2人都来自科研单位A”为大事M，
则P(M)＝＝＝，所以选中的2人都来自科研单位A的概率为.
17．(本小题满分12分)(文)盒子内装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，登记它的读数x，然后放回盒子内，其次次再从盒子中任取1张卡片，登记它的读数y.试求：
(1)x＋y是10的倍数的概率；
(2)xy是3的倍数的概率．
[解析]　先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x，y)共有100个．
(1)x＋y是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．
故“x＋y是10的倍数”的概率为P1＝＝0.1.
(2)xy是3的倍数，只要x是3的倍数，或y是3的倍数，由于x是3的倍数且y不是3的倍数的数对的个数为21个，而x不是3的倍数且y是3的倍数的数对的个数也为21个，x是3的倍数且y也是3的倍数的数对的个数为9个．
故xy是3的倍数的数对的个数为21＋21＋9＝51(个)．
故xy是3的倍数的概率为P2＝＝0.51.
(理)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“嘉奖一瓶”或“感谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“嘉奖一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求三位同学都没有中奖的概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．
[解析]　(1)设甲、乙、丙中奖的大事分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
P()＝P()P()P()＝()3＝.
故三位同学都没有中奖的概率是.
(2)1－P(BC＋AC＋AB＋ABC)
＝1－3×()2×－()3＝.
或P(＋A＋B＋C)＝.
故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.
18．(本小题满分12分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．
[解析]　(1)设A表示大事“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．
其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，
所以P(A)＝.
(2)设B表示大事“至少一次抽到3”， 第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．
大事B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求大事的概率为P(B)＝.
19．(本小题满分12分)(文)甲、乙两人玩一种玩耍，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的大事，求P(A)．
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的大事，C表示乙至少赢两次的大事，试问B与C是否为互斥大事？为什么？
(3)这种玩耍规章公正吗？说明理由．
[解析]　(1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果．
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥大事，理由如下：
B与C都包含“甲赢一次，乙赢二次”，大事B与大事C可能同时发生，故不是互斥大事．
(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P＝>，故这种玩耍规章不公正．
(理)甲、乙两名同学参与“汉字听写大赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成果(单位：分)如下表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
(1)请画出甲、乙两人成果的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)；
(2)若从甲、乙两人5次的成果中各随机抽取一个成果进行分析，设抽到的两个成果中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX.
[解析]　(1)茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成果大于甲的平均成果，且乙的方差小于甲的方差，因此选派乙参赛更好.
甲

乙
5　8
5

6
5
6
7

8
8
2　7　5
2
9
5
(2)随机变量X的全部可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
P

EX＝0×＋1×＋2×＝.
20．(本小题满分13分)一中食堂有一个面食窗口，假设同学买饭所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往同学买饭所需的时间统计结果如下：
买饭时间(分)
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个同学开头买饭时计时．
(理)(1)估量第三个同学恰好等待4分钟开头买饭的概率；
(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列及数学期望．
(文)(1)求第2分钟末没有人买到晚饭的概率；
(2)估量第三个同学恰好等待4分钟开头买饭的概率．
[解析]　(理)设Y表示同学买饭所需的时间，用频率估量概率，得y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(1)A表示大事“第三个同学恰好等待4分钟开头买饭”，则大事A对应三种情形：
①第一个同学买饭所需的时间为1分钟，且其次个同学买饭所需的时间为3分钟；②第一个同学买饭所需的时间为3分钟，且其次个同学买饭所需的时间为1分钟；③第一个和其次个同学买饭所需的时间均为2分钟.
所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)
＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
(2)X全部可能的取值为0,1,2，
X＝0对应第一个同学买饭所需的时间超过2分钟，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5
X＝1对应第一个同学买饭所需的时间为1分钟且其次个同学买饭所需的时间超过1分钟或第一个同学买饭所需的时间为2分钟．
所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1) ＋P(Y＝2)
＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，
X＝2对应两个同学买饭所需时间均为1分钟．
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
(文)(1)记“第2分钟末没有人买到晚饭”为A大事，即是第一个同学买饭所需的时间超过2分钟，所以P(A)＝P(Y>2)＝0.5.
(2)A表示大事“第三个同学恰好等待4分钟开头买饭”则大事A对应三种情形：①第一个同学买饭所需的时间为1分钟，且其次个同学买饭所需的时间为3分钟；②第一个同学买饭所需的时间为3分钟，且其次个同学买饭所需的时间为1分钟；③第一个和其次个同学买饭所需的时间均为2分钟．
所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)
＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
21．(本小题满分14分)(文)(2022·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，C．
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析]　思路分析：(1)先列出全部的抽取状况，共3×3×3＝27种，只有1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3共3种，求得概率．
(2)利用对立大事求解．
解：(1)由题意，(a，b，c)全部的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，
(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，
(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为大事A，
则大事A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为大事B，
则大事包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
(理)(2022·湖北高考)方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求将来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站期望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
[解析]　(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，
p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，
p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布，在将来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝()4＋4×()3×()＝0.9477.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形，
由于水库年入值量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.
②安装2台发电机的情形，
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(Y≥80)＝p2＋p3＝0.8，因此得Y的分布列如下
Y
4200
10000
P
0.2
0.8
所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.
③安装3台发电机的情形，
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当x>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p1＝0.1，由此得Y的分布列如下
Y
3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1
＝8620.
综上，欲使水电年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．