《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书:4.5空间直角坐标系-讲义.docx
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1、第5课时空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.重点:(1)空间直角坐标的构成、画法及点的坐标;(2)空间两点间的距离与中点坐标的计算,并将此与平面直角坐标系中的距离公式,中点公式相比较.难点:确定点在空间直角坐标系中的坐标.三楼屋顶有一蜂窝,住户报119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有20米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米,蜂巢能被击落吗?问题1:空间直角坐标系(1
2、)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=45或135,yOz=90.(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直
3、角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标.(4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,假如中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2:空间两点间的距离公式(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=,特殊地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|=.(2)说明:留意此公式与两点的先后挨次无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.问题3:情境中要知蜂巢能否被击
4、落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以通过立体几何的学问可以解决,但我们想换一种思维即接受代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离,我们就可以解决上面的这个实际应用题.问题4:假如|OP|是定长r,那么方程x2+y2+z2=r2表示的图形是以原点为圆心,以r为半径的球面.除了空间直角坐标系外,还有很多坐标系.如极坐标系.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系.在平面上取定一点O,称为极点.从O动身引一条射线Ox,称为极轴.再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正.这样,平面上任一点P的位
5、置就可以用线段OP的长度以及从Ox到OP的角度来确定,有序数对(,)就称为P点的极坐标,记为P(,);称为P点的极径,称为P点的极角.当限制0,02时,平面上除极点以外,其他每一点都有唯一的一个极坐标.极点的极径为零,极角任意.若除去上述限制,平面上每一点都有很多多组极坐标与之对应.一般地,假如(,)是一个点的极坐标,那么(,+2n),(-,+(2n+1)都可作为它的极坐标,这里n取任意整数.1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是().A.在y轴上B.在xOy平面上C.在xOz平面上D.在yOz平面上【解析】 点P(2,0,3)在xOz平面上.故选C.【答案】C2.点A是点P(1,2,
6、3)在平面yOz内的射影,则|OA|等于().A.B.C.2D.【解析】 点P在yOz内射影为A(0,2,3),|OA|=.故选B.【答案】B3.在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是.【解析】 由中点坐标公式得AB的中点坐标为(,0),即(,3,0).【答案】(,3,0)4.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使点M到点N(6,5,1)的距离最小.【解析】 由已知,可设M(x,1-x,0),则|MN|=.当x=1,y=0时,|MN|min=.点M坐标为(1,0,0).确定空间内点的坐标如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=3,AB=5,
7、AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标.【方法指导】依据长方体的特征,建立适当的空间直角坐标系,对于特殊点,可直接写出坐标,对于非特殊点,可找出它在坐标平面上的射影以确定其横、纵、竖坐标.【解析】 如图,以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.长方体的棱长AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4,明显D(0,0,0),A在x轴上,A(3,0,0);C在y轴上,C(0,5,0);D1在z轴上,D1(0,0,4);B在xOy平面内,B(3,5,0);A1在xOz平面内,A1(3,0,4);C1在yOz平面内,C1(0,
8、5,4).由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0),B1的横坐标为3,纵坐标为5,B1在z轴上的射影为D1(0,0,4),B1的竖坐标为4,B1(3,5,4).【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.空间中两点之间的距离如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DEAC,垂足为E,求B1E的长.【方法指导】建立适当的空间直
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