2020-2021学年高中数学(人教A版-必修二)第4章-4.1.2-课时作业.docx
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4.1.2 圆的一般方程 【课时目标】 1.正确理解圆的一般方程及其特点.2.会由圆的一般方程求其圆心、半径.3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程,并能简洁应用.4.初步把握点的轨迹方程的求法,并能简洁应用. 1.圆的一般方程的定义 (1)当________________时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其圆心为____________,半径为______________________. (2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点________________. (3)当__________________时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形. 2.由圆的一般方程推断点与圆的位置关系 已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).,则其位置关系如下表: 位置关系 代数关系 点M在圆外 x+y+Dx0+Ey0+F________0 点M在圆上 x+y+Dx0+Ey0+F________0 点M在圆内 x+y+Dx0+Ey0+F________0 一、选择题 1.圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为( ) A.和 B.(3,2)和 C.和 D.和 2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是( ) A.<m<1 B.m>1 C.m< D.m<1 3.M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,过M点最长的弦所在的直线方程是( ) A.x+y-3=0 B.x-y-3=0 C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0 4.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( ) A.2 B. C.1 D. 5.已知圆x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点O在( ) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 6.若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等,则圆心M的轨迹方程是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x2+y2=0 D.x2-y2=0 二、填空题 7.假如圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 8.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=________. 9.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________. 三、解答题 10.平面直角坐标系中有A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),D(-2,-1)四个点能否在同一个圆上? 11.假如方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)求该圆半径r的取值范围. 力气提升 12.求经过两点A(4,2)、B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. 13.求一个动点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程. 1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,来源于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.在应用时,留意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定,在设方程时,要依据实际状况,设出方程,以便简化解题过程. 3.涉及到的曲线的轨迹问题,要求作简洁的了解,能够求出简洁的曲线的轨迹方程,并把握求轨迹方程的一般步骤. 4.1.2 圆的一般方程 答案 学问梳理 1.(1)D2+E2-4F>0 (2) (3)D2+E2-4F<0 2.> = < 作业设计 1.C [由一般方程圆心,半径r=两公式易得答案.] 2.D [表示圆应满足D2+E2-4F>0.] 3.B [过M最长的弦应为过M点的直径所在直线.] 4.D [先求出圆心坐标(1,-2),再由点到直线距离公式求之.] 5.B [先化成标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a,将O(0,0)代入可得a2+1>2a(0<a<1),即原点在圆外.] 6.D [圆心应满足y=x或y=-x,等价于x2-y2=0.] 7.(0,-1) 解析 r==. 当k=0时,r最大,此时圆面积最大,圆的方程可化为x2+y2+2y=0, 即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1). 8.-2 解析 由题意知圆心应在直线l:x-y+2=0上,即-1++2=0,解得 a=-2. 9.20 解析 点(3,5)在圆内,最长弦|AC|即为该圆直径, ∴|AC|=10,最短弦BD⊥AC,∴|BD|=4,S四边形ABCD=|AC|·|BD|=20. 10.解 设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则,解得. 所以过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 将点D(-2,-1)代入上述方程等式不成立. 故A、B、C、D四点不能在同一个圆上. 11.解 (1)方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆必需有: D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 即:7t2-6t-1<0, ∴-<t<1. (2)该圆的半径r满足: r2= =(t+3)2+(1-4t2)2-(16t4+9) =-7t2+6t+1=-72+, ∴r2∈,∴r∈. 12.解 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D;令x=0,得y2+Ey+F=0,所以圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E; 由题设,x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, 所以D+E=-2. ① 又A(4,2)、B(-1,3)两点在圆上, 所以16+4+4D+2E+F=0, ② 1+9-D+3E+F=0, ③ 由①②③可得D=-2,E=0,F=-12, 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. 13.解 设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(x0,y0).由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点,所以x=,y=于是有x0=2x-3,y0=2y. 由于点P在圆x2+y2=1上移动,所以点P的坐标满足方程x+y=1, 则(2x-3)2+4y2=1,整理得2+y2=. 所以点M的轨迹方程为2+y2=.- 配套讲稿:
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