2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.1.3.docx

3.1.3　两个向量的数量积

课时目标　1.把握空间向量夹角的概念及表示方法，把握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.把握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角问题．

1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法

范围
________.当〈a，b〉＝时，a______b
想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？
2．空间向量的数量积(内积)
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)向量的数量积的性质
①a·e＝____________；
②非零向量a，b，a⊥b⇔__________；
③|a|2＝________；
④|a·b|≤________.
(3)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝________；
②a·b＝________(交换律)；
③(a＋b)·c＝____________(支配律)．
3．异面直线
(1)异面直线的定义
______________________的两条直线叫做异面直线．
(2)两条异面直线所成的角
把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．假如所成的角是________，则称两条异面直线相互垂直．

一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)
A. B. C. D．4
4.在棱长为1的正四周体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·等于(　　)
A．0 B. C．－ D．－
5.

如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A．6 B．6
C．12 D．144
6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则(　　)
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种状况都有可能
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
8．若空间向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.

如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

11.

如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．

力气提升
12.平面式O,A.B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.
13．在正四周体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.

1．空间向量数量积直接依据定义计算．
2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：
(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．

3．1.3　两个向量的数量积
学问梳理
1.
定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
〈a，b〉
范围
[0，π]．当〈a，b〉＝时，a⊥b
2.(2)①|a|cos〈a，e〉　②a·b＝0　③a·a　④|a||b|　(3)①λ(a·b)　②b·a　③a·c＋b·c
3．(1)不同在任何一个平面内　(2)平移到一个平面内　锐角或直角　直角
作业设计
1．D　[①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]
2．A　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0⇒a，b同向．当a 与b反向时，不能成立．]
3．C　[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.]
4．D　[·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]
5．C　[∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，∴||＝12.]
6．B　[由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，
m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，
∴m⊥n.]
7．60°
解析　由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，
∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.
8.
解析　|a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析　①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不愿定是锐角三角形．
10．证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.
11．解　由于＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
12.

C　[如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13．解　

如图所示，||＝||＝||＝a，
＝＋＋
＝＋(－)
＋(－)
＝－＋＋.
又·＝·＝·
＝||2cos 60°＝||2＝a2，
∴·＝·

＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即|MN|＝a.