2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第3章-第1讲--变化率与导数、导数的运算.docx

第三章 导数及其应用
第1讲 变化率与导数、导数的运算
一、选择题
1．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)
A．－ B．0 C. D．5
解析 由于f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.
答案 B
2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有 (　　)．
A．af(b)<bf(a) B．bf(a)<af(b)
C．af(a)<f(b) D．bf(b)<f(a)
解析　构造函数F(x)＝(x>0)，F′(x)＝，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴<，即bf(a)<af(b)．
答案　B
3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋x(a>0)，则f(2)的最小值为
(　　)．
A．12 B．12＋8a＋
C．8＋8a＋ D．16
解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得0<a<，∴a＝时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×＋＝16.故选D.
答案　D
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)．
A．－e B．－1 C．1 D．e
解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案　B
5．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)．
A．26 B．29 C．212 D．215
解析　函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.
答案　C

6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 (　　)．
A．h(1)<h(0)<h(－1)
B．h(1)<h(－1)<h(0)
C．h(0)<h(－1)<h(1)
D．h(0)<h(1)<h(－1)
解析　由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝x2＋m，其中m为常数，g(x)＝x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝x2－x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．
答案　D
二、填空题
7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
解析　∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案　y＝4x－3
8．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
解析　y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
答案　(1，e)　e
9．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
解析　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，
∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上．
又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，
x＝1时，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，
∴f′(1)＝2.
答案　2
10．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．
解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)，
∴y′＝′＝2′＋′
＝＝.
由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10＝＝3.
因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．
答案　3
三、解答题
11．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)；
(3)y＝；　(4)y＝2xsin(2x＋5)．
解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.
(2)y′＝·＝.
(3)∵y＝＝1＋∴y′＝.
(4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)．
12．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；
切线l的方程为：x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－；
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，特殊地，取x＝x1时，
f(x1)＋g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韦达定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故0<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．综上：m的取值范围是
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
14．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当0<x<2时，f(x)<.
(1)解　由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，
又y′|x＝0＝x＝0＝＋a，
得a＝0.
(2)证明　当x>0时，2<x＋1＋1＝x＋2，
故<＋1.记h(x)＝f(x)－，则
h′(x)＝＋－＝－
<－＝.
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，
则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，
又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.
于是当0<x<2时，f(x)<.