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2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第一章1.5.3知能演练轻松闯关.docx
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1.定积分f(x)dx的大小( ) A.与y=f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与y=f(x)有关,与积分区间[a,b]和ξi的取法无关 C.与y=f(x)和ξi的取法有关,与积分区间[a,b]无关 D.与y=f(x)、积分区间[a,b]、ξi的取法均无关 解析:选A.定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关. 2.下列结论中成立的个数是( ) ①x3dx=·; ②x3dx=·; ③x3dx=·. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选C.积分是一个极限的形式,依据积分的定义可知②③正确. 3.(2021·铜陵质检)定积分(-3)dx等于( ) A.-6 B.6 C.-3 D.3 解析:选A.3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6,(-3)dx =3dx=-6. 4.已知函数f(x)=sin5x+1,依据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求f(x)dx的值,结果是( ) A.+ B.π C.1 D.0 解析:选B. (sin5x+1)dx=sin5xdx+1dx,∵y=sin5x在[-,]上是奇函数, ∴sin5xdx=0. 而1dx==π,故f(x)dx=π,故选B. 5.设a=xdx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是( ) A.c>a>b B.a>b>c C.a=b>c D.a>c>b 解析:选B.依据定积分的几何意义,易知x3dx<x2dx<xdx,即a>b>c,故选B. 6.(2021·淄博调研)定积分(2+)dx=________. 解析:原式=2dx+dx. ∵2dx=2,dx=, ∴(2+)dx=+2. 答案:+2 7.直线x=1,x=-1,y=0及曲线y=x3+sin x围成的平面图形的面积可用定积分表示为________. 解析:因y=x3+sin x为奇函数,故-1(x3+sin x)dx=-(x3+sin x)dx<0, 所以S=2(x3+sin x)dx. 答案:2(x3+sin x)dx 8. (2021·成都高二检测)若y=f(x)的图象如图所示,定义F(x)=f(t)dt,x∈[0,1],则下列对F(x)的性质描述正确的有________. (1)F(x)是[0,1]上的增函数; (2)F′(1)=0; (3)F(x)是[0,1]上的减函数; (4)∃x0∈[0,1]使得F(1)=f(x0). 解析: 由定积分的几何意义可知,F(x)表示图中阴影部分的面积,且F(1)=f(t)dt为一个常数,当x渐渐增大时,阴影部分的面积也渐渐增大,所以F(x)为增函数,故(1),(2)正确,(3)错误.由定积分的几何意义可知,必定∃x0∈[0,1],使S1=S2,此时矩形ABCO的面积与函数f(x)的图象与坐标轴围成的区域的面积相等,即F(1)=f(t)dt=f(x0),故(4)正确. 所以对F(x)的性质描述正确的有(1),(2),(4). 答案:(1)(2)(4) 9.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算): 解:(1) sin xdx. (2) -4x2dx. (3)--xdx=xdx. 10.已知x3dx=,x3dx=,x2dx=,x2dx=,求: (1)3x3dx; (2)6x2dx; (3)(3x2-2x3)dx. 解:(1)3x3dx=3x3dx=3(x3dx+x3dx) =3=12. (2)6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126. (3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-. 1.将和式的极限 (p>0)表示成定积分为( ) A.dx B.xpdx C.pdx D.pdx 解析:选B.令ξi=,f(x)=xp, 则=f(ξi)=xpdx.故选B. 2.将 (++…+)表示为定积分为________. 解析:由定积分的定义 (++…+) =()· =()·=dx. 答案:dx 3.设f(x)=求f(x)dx. 解: ∵f(x)= ∴f(x)dx=(x+1)dx +(-2x+4)dx. 又由定积分的几何意义得 (x+1)dx=(1+2)×1=, (-2x+4)dx=×1×2=1, ∴f(x)dx=+1=. 4.抛物线y=x2将圆面x2+y2≤8分成两部分,现在向圆面上均匀投点,这些点落在图中阴影部分的概率为+,求(-x2)dx. 解:解方程组得x=±2. ∴阴影部分的面积为 (-x2)dx. ∵圆的面积为8π, ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(+)=2π+. 由定积分的几何意义得 (-x2)dx = (-x2)dx =π+.- 配套讲稿:
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