高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-典型例题：导数的几何意义.docx

3.2 导数的几何意义
【例1】曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标

【例2】由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a≠0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),…,如此连续地作下去,得到点列{Pn(xn,yn)}，试回答下列问题：
(1)求x1;
(2)求xn与xn+1的关系；
(3)当a＞0时，求证：当n为正偶数时有xn＜a,当n为正奇数时有xn＞a.

参考答案
例1：
【分析】求f(x)的导数f′(x)，依据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标.
【解】∵f(x)=x3+2x+1，
∴

=3x2+2.
∴f′(x)=3x2+2=2,x=0.
又f(0)=1,
∴M的坐标为(0，1)
【点拨】先依据导数公式求出点的横坐标，再将横坐标代入函数式子求出纵坐标.
例2：
【分析】过Pn(xn,yn)的切线的斜率kn=f′(xn)，利用点斜式写出直线方程.
又由于点Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上，所以坐标满足方程.
于是建立xn与xn+1的递推关系.对于第(1)问,设P0(x0,y0)即为P0(0，0).
由于原点也在曲线上，于是应当满足递推关系，求出x1.利用递推数列的学问求解xn的通项公式，最终运用分类思想赐予证明.
【解】(1)原点(0，0)，
kn=f′(xn)，
∵f(x)=x3-3ax2+bx,∴f′(x)=3x2-6ax+b，
f′(xn)=3xn2-6axn+b.
∴k1=f′(x1)=3x12-6ax1+b.
∴过P1的切线l1的方程为y-f(x1)=f′(x1)(x-x1).
∵l1过点O(0，0)，
∴-f(x1)=f′(x1)(0-x1).
∴x13-3ax12+bx1=(3x12-6ax1+b)x1.
又∵x1≠0，
∴x12-3ax1+b=3x12-6ax1+b.
∴2x12-3ax1=0.又x1≠0，∴.
(2)过Pn的切线ln的方程为
y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),
又∵ln过点Pn-1(xn-1,yn-1),
∴f(xn-1)-f(xn)=f′(xn)(xn-1-xn).
∴xn-13-3axn-12+bxn-1-xn3+3axn2-bxn=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).
∴(xn-13-xn3)-3a(xn-12-xn2)+b(xn-1-xn)=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).
又∵xn-1≠xn,
∴xn-12+xnxn-1+xn2-3a(xn+xn-1)+b=3xn2-6axn+b,
∴xn-12+xnxn-1-2xn2+3a(xn-xn-1)=0.
∴(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0.
∴xn-1+2xn-3a=0,
即.
同理.
(3),
∴xn+1-a=-(xn-a).
∴数列{xn-a}是等比数列，且公比为-，首项为a.
∴xn-a=a·(-)n-1.
∴xn=a-a·(-)n.
当n为正偶数时，xn=a-a·()n＜a;
当n为正奇数时，xn=a+a·()n＞a.
【点拨】本题考查的学问点较多，需要在以前学习的学问的基础上解决.