2022届高考数学理新课标A版一轮总复习练习-选4-5不等式选讲-2.docx

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1．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．
解析：由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
答案：2
2．[2022·陕西]设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为__________．
解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.
答案：
3．设正数x，y，z满足2x＋2y＋z＝1.
(1)求3xy＋yz＋zx的最大值；
(2)证明：＋＋≥.
解析：(1)3xy＋yz＋zx＝3xy＋(x＋y)z＝3xy＋(x＋y)·[1－2(x＋y)]
＝3xy＋(x＋y)－2(x＋y)2≤(x＋y)2＋(x＋y)－2(x＋y)2
＝－(x＋y)2＋(x＋y)
＝－[(x＋y)－]2＋≤.
当且仅当x＝y＝z＝时等号成立，3xy＋yz＋zx取得最大值.
(2)证明：由柯西不等式和(1)得，＋＋≥≥＝.
4．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(1)由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
由于[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
由条件x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy，
由题意知x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立.