2022高考总复习(人教A版)高中数学-第八章-平面解析几何-第7讲-抛物线.docx

第7讲　抛物线

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0 x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

[做一做]
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x　　　　　 B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：选C.由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.
2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)
A．(2，0) B．(－2，0)
C．(4，0) D．(－4，0)
答案：B

1．辨明两个易误点
(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
(2)抛物线标准方程中参数p易忽视只有p＞0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
2．与焦点弦有关的常用结论
(以下图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
[做一做]
3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．8
解析：选C.如图，F，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，
∴x0＝x0＋＝x0＋，
∴x0＝1.
4．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x

__抛物线的定义及其应用________________

　(1)(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．3 D．2
(2)(2021·长春市调研)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．3
[解析]　(1)∵＝4，
∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，
∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，依据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3，
故选C.
(2)由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.
[答案]　(1)C　(2)B
[规律方法]　利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
　1.(1)(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
(2)(2021·浙江杭州模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
解析：(1)选B.设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(2)选C.抛物线焦点F(，0)，准线x＝－，如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得|PF|＝|PN|，
∵|PA|＋|PM|＋|MN|＝|PA|＋|PN|＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，而|MN|＝，∴|PA|＋|PM|≥5－＝，当且仅当A，P，F三点共线时，取“＝”号，此时，点P位于抛物线上，∴|PA|＋|PM|的最小值为.

__抛物线的标准方程及性质(高频考点)____

抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式毁灭，个别高考题有确定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求抛物线方程；
(2)由已知求参数p；
(3)与其它学问交汇求解综合问题．
　(1)(2021·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
(2)(2021·山东德州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)
A．1 B.
C．2 D．3
[解析]　(1)依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.
(2)双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由于双曲线的离心率为2，
所以 ＝2，＝.
由
解得或
由曲线的对称性及△AOB的面积得，2×××＝，
解得p2＝，p＝(p＝－舍去)．故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[规律方法]　(1)求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
(2)确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．
　2.(1)(2021·高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
解析：(1)选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.
由y2＝2px，F，
∴N点的坐标为.
由抛物线的定义知，x0＋＝5，
∴x0＝5－.
∴y0＝ .
∵|AN|＝＝，∴|AN|2＝.
∴＋＝.
即＋＝.
∴ －2＝0.
整理得p2－10p＋16＝0.
解得p＝2或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
(2)解：由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，且AN＝.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，
∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.
__直线与抛物线的位置关系______________

　(1)(2022·高考辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C. D.
[解析]　(1)抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2，3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2，0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x，得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.
由于切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为＝.
(2)设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
又y＝x1，y＝x2，
∴y1y2＝－2.
联立得y2－ny－m＝0，
∴y1y2＝－m＝－2，

∴m＝2，即点M(2，0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO
＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，
∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2＝3，
当且仅当y1＝时，等号成立．
[答案]　(1)D　(2)B
[规律方法]　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．
(3)争辩直线与抛物线的位置关系与争辩直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要留意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的机敏应用．
　3.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p×1，
所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
由于直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝，
可得＝，
解得t＝±1.
由于－1∉，1∈，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

考题溯源——抛物线方程的应用

　　　(2022·高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.

[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
[答案]　2
[考题溯源]　本考题就是教材人教A版选修2­1 P74习题A组T8原题．
　　　某大桥在涨水时有最大跨度的中心桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度
不超过18米，目前吃水线上部分中心船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔，为什么？
解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为y＝ax2，由题意知点A(10，－2)在抛物线上，代入方程求解，得a＝－，方程即为y＝－x2.
让船沿正中心航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，此时抛物线上的点B距离水面－1.28＋6＝4.72(米)，又船体水面以上高度为5米，所以无法通过；又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050吨，故至少应再装1 050吨货物才能通过，而现在只能多装1 000吨，故无法通过，只能等到水位下降.

1．已知m，n，m＋n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2＝ny的焦点坐标是(　　)
A．(0，)　　　　　　　 B．(，0)
C．(0，) D．(，0)
解析：选A.由题意知，2n＝m＋m＋n且n2＝m·mn，解得m＝2，n＝4，故抛物线为x2＝2y，其焦点坐标为(0，)．
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D.由于双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
3．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．6
C．12 D．7
解析：选C.∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
4．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　)
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：选C.直线FA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，直线FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相像知＝＝.
5．(2021·衡水中学调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置(　　)
A．在C1开口内 B．在C1上
C．在C1开口外 D．与p值有关
解析：选B.设B(－，m)，由已知有AB中点的横坐标为，则A(，m)，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝＝2p，∴p2＋m2＝4p2，∴m＝±p，∴A(，±p)，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B.
6．(2021·四川资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．
解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.
所以抛物线方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
7．(2021·厦门质检)已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，依据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，
∴y＝4，∴|yP|＝2.
答案：2
8. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．

解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，
∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，依据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.
答案：y2＝3x
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p＝2c.
设抛物线方程为y2＝4c·x，
∵抛物线过点(，)，
∴6＝4c·，
∴c＝1，
故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，
∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍去)．
∴b2＝，
故双曲线方程为4x2－＝1.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
∴p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又∵F(1，0)，∴kFA＝，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
∴N的坐标为.

1．(2021·河南郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
解析：选C.由题意可设直线方程为y＝－(x－)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
整理得y2＋2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝－2p.
∵线段AB的中点的纵坐标为－2，
∴＝－2.∴p＝2.
∴抛物线的准线方程为x＝－1.
2．(2021·江西上饶模拟)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于(　　)
A．－4 B．－16
C．4 D．－8
解析：选B.依题意可得，·＝－(||·||)．
又由于||＝yA＋1，||＝yB＋1，
所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.
所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.
所以·＝－(4k2＋4)．
同理·＝－(＋4)．
所以·＋·＝－(4k2＋＋8)≤－16.
当且仅当k＝±1时等号成立．
3．(2021·山西省忻州市联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)，依据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
答案：－1
4．已知抛物线x2＝2y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：由x2＝2y，得y＝x2，∴y′＝x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，又x＝2y1，∴切线方程为y＝x1x－，同理可得过点Q的切线方程为y＝x2x－，两切线方程联立解得.
又抛物线焦点F的坐标为(0，)，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝mx＋，由，得x2－2mx－1＝0，所以x1x2＝－1，所以yA＝－.
答案：－
5．(2021·厦门模拟) 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则
kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1.
6．(选做题)(2021·吉林长春调研)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．
解：(1)由题可知F(，0)，
则该直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，
∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.

(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1.
∴l的方程为y＝x＋1.
设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵y－y＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2
＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·的最小值为－14.