【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第2章-第5节-对数与对数函数.docx

其次章　第五节

一、选择题
1．(文)(2022·四川泸州一诊)2lg2－lg的值为(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
[答案]　B
[解析]　2lg2－lg＝lg(22÷)＝lg100＝2，故选B．
(理)(2021·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为(　　)
A．log23　　　　　　　 B．
C．　 D．1
[答案]　C
[解析]　∵f(a)＝3，∴　①
或　②
①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，选C．
2．(文)(2021·山东威海期末)下列四个数中最大的是(　　)
A．(ln2)2　 B．ln(ln2)
C．ln　 D．ln2
[答案]　D
[解析]　由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y＝lnx为增函数，因此ln<ln2；那么最大的只能是A或D；由于0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.
(理)若x∈(，1)，a＝lgx，b＝lg2x，c＝lgx，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c　 B．a<c<b
C．c<a<b　 D．b<c<a
[答案]　B
[解析]　∵<x<1，∴－1<lgx<0，∴0<lg2x<1，
∵a－c＝lgx－lgx＝lgx<0，∴a<c，
故a<c<b，故选B．
[点评]　比较对数式的值大小的方法：
①利用中间量0、1.
(2022·河北石家庄一模)已知a＝3，b＝log，c＝log2，则(　　)
A．a>b>c　 B．b>c>a
C．c>b>a　 D．b>a>c
[答案]　A
[解析]　由于3>1,0<log<1，c＝log2<0，
所以a>b>c，故选A．
②指数互化
(2022·湖北省重点中学联考)∀α∈(，)，x＝(sinα)logπcosα，y＝(cosα)logπsinα，则x与y的大小关系为(　　)
A．x>y　 B．x<y
C．x＝y　 D．不确定
[答案]　C
[解析]　由于logπx＝logπsinαlogπcosα，logπy＝logπsinα·logπcosα，所以logπx＝logπy，所以x＝y，故选C．
③作差法
(2022·山东临沂市重点中学月考)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则(　　)
A．a<b<c　 B．c<a<b
C．b<a<c　 D．b<c<a
[答案]　C
[解析]　由于x＝(e－1,1)，所以－1<a＝lnx<0，而b－a＝lnx<0，故b<a，而c－a＝(ln2x－1)·lnx>0，故c>a，综上b<a<c.
④化同真借助图象
(2021·新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a　 B．b>c>a
C．a>c>b　 D．a>b>c
[答案]　D
[解析]　本题考查了对数的运算性质．
∵a＝log36＝1＋log32；
b＝log510＝1＋log52；
c＝log714＝1＋log72.
∵log32>log52>log72，∴a>b>c.
⑤用单调性
(2022·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1)　 B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3)　 D．f(3)<f(1)<f(－2)
[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．
又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．
⑥转化法
若函数f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，则、、的大小关系是(　　)
A．>>　 B．>>
C．>>　 D．>>
[答案]　B
[解析]　∵、、可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图象及a>b>c>0可知>>.故选B．
⑦综合法
(2021·宣城二模)若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　 B．c>a>b
C．c>b>a　 D．b>a>c
[答案]　A
[解析]　∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排解B，C；b＝ln2·ln3<()2＝＝a，排解D，故选A．
3．(2022·宁夏银川质检)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)　 D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]　C
[解析]　f(a)>f(－a)化为
或
∴a>1或－1<a<0，故选C．
4．(文)(2022·石家庄调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝(　　)
A．－1　 B．－3
C．1　 D．3
[答案]　A
[解析]　由条件知f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.
(理)(2021·开封一模)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝(　　)
A．－log2(4－x)　 B．log2(4－x)
C．－log2(3－x)　 D．log2(3－x)
[答案]　C
[解析]　依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，4－x∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝－log2(3－x)，选C．
5．(2022·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，B＝{y|y＝()x－1}，则A∩B＝(　　)
A．(，1)　 B．(1,2)
C．(0，＋∞)　 D．(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　A＝{x|y＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y＝()x－1}＝{y|y>0}，∴A∩B＝{x|x>1}．
6．(文)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；　　②ac<bc；
③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中全部的正确结论的序号是(　　)
A．①　 B．①②
C．②③　 D．①②③
[答案]　D
[解析]　本题考查不等式性质，比较大小．
－＝，∵a>b>1，c<0，∴>0，>，①正确；a>b>1，ac<bc，②正确；∵a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>logb(b－c)>loga(b－c)，③正确．
[点评]　比较大小的方法有作差法、单调性法等．
(理)(2021·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x ，y＝(x－1)2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝有2个实数根，其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
[答案]　C
[解析]　命题①中，在(0，＋∞)上只有y＝x，y＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n，故0<n<m<1，②正确；③中函数y＝f(x－1)的图象是把y＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x－2＝时，x＝2＋log3<2，当log3(x－1)＝时，x＝1＋>2，故方程f(x)＝有2个实数根，④正确．故选C．
二、填空题
7．(文)函数y＝的定义域为________．
[答案]　{x|1≤x<或－<x≤－1}
[解析]　要使函数有意义，应满足log(2－x2)≥0，
∵y＝logx为减函数，∴0<2－x2≤1，∴1≤x2<2，
∴1≤x<或－<x≤－1.
(理)函数f(x)＝ln的定义域是________．
[答案]　(－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析]　要使f(x)有意义，应有1＋>0，
∴>0，∴x<0或x>1.
8．(文)(2022·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．假照实数t满足f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，那么t的取值范围是________．
[答案]　[，e]
[解析]　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln)，由f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故≤t≤e.
(理)(2022·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
[答案]　<a<1或1<a<2
[解析]　由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2，
∴loga4>2或loga4<－2，
∴1<a<2或<a<1.
9．(文)方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．
[答案]　x＝5
[解析]　原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于y＝log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.
(理)(2022·广东韶关调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
[答案]　a>1
[解析]　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

三、解答题
10．(文)(2022·江西南昌其次中学第一次月考)已知f(x)＝log(x2－mx－m)．
(1)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)设g(x)＝x2－mx－m，要使得函数f(x)的值域为R，则g(x)＝x2－mx－m能取遍全部的正数，则有(－m)2－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.
(2)函数f(x)＝log(x2－mx－m)的底数是，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，则函数g(x)＝x2－mx－m在区间(－∞，1－)上是减函数，则有解得2－2≤m≤2.
(理)(2021·北京朝阳期末)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　假设存在实数a，b使命题成立，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴x＝1时，f(x)取得最小值1，
∴log3＝1，∴a＋b＝2.
∵f(x)在(0,1)上是减函数，
设0<x1<x2<1，
∴f(x1)>f(x2)恒成立，
即>恒成立，
整理得>0恒成立．
∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0，x1x2>0，
∴x1x2－b<0恒成立，即x1x2<b恒成立，
而x1x2<1，∴b≥1.
同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.
故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件．

一、选择题
11．(文)(2022·山东德州期末)函数y＝(0<a<1)的图象的大致外形是(　　)

[答案]　D
[解析]　由于y＝＝且0<a<1，所以依据指数函数的图象和性质，当x∈(0，＋∞)时，函数为减函数，图象下降；当x∈(－∞，0)时，函数是增函数，图象上升，故选D．
(理)函数y＝ln||与y＝－在同一平面直角坐标系内的大致图象为(　　)

[答案]　C
[解析]　y＝ln||为偶函数，当x>0时，y＝ln＝－lnx为减函数，故排解A、B；y＝－≤0，其图象在x轴下方，排解D，故选C．
12．(文)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为(　　)
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．1
[答案]　C
[解析]　由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x
＝则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝(舍去)；令－ln2x＝0⇒x＝1；
当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x有两个零点，故选C．
(理)已知函数f(x)＝()x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　)
A．不小于0　 B．恒为正数
C．恒为负数　 D．不大于0
[答案]　B
[解析]　若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝()x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，由于0<x1<x0，画图易知()x1>log3x1，所以f(x1)恒为正数．
13．(文)(2021·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是(　　)
A．2　 B．2
C．2　 D．
[答案]　B
[解析]　由logmn＝－1，得m－1＝n，则mn＝1.
由于m>0，n>0，∴m＋3n≥2＝2.故选B．
(理)(2021·广东肇庆检测)已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为N.若M＋N＝a，则实数a的值为(　　)
A．　 B．
C．2　 D．4
[答案]　B
[解析]　由于y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，故M＋N＝f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，解得a＝.
14．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2022x＋log2022x，则方程f(x)＝0的实根的个数为(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．5
[答案]　C
[解析]　当x>0时，f(x)＝0即2022x＝－log2022x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2022x，f2(x)＝－log2022x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又由于f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.
二、填空题
15．(2022·河南郑州模拟)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)＝________.
[答案]　－2
[解析]　由题意y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，令f(3)＝a，则点(a,3)必在函数y＝2－x－1的图象上，所以2－a－1＝3，解得a＝－2，即f(3)＝－2.
16．(文)(2021·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________．
[答案]　－1
[解析]　由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋>0，所以当x≥e时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.
(理)(2022·山东郯城一中月考)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．
[答案]　(－∞，0]
[解析]　易知函数f(x)的定义域为(，＋∞)，在同始终角坐标系中画出函数y＝log(3x－2)和y＝log2x的图象，

由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，
∴由图象可得f(x)＝的值域为(－∞，0]．
三、解答题
17．(文)(2022·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
[解析]　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
(理)已知函数f(x)＝log(a是常数且a<2)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．
[解析]　(1)∵>0，∴(ax－2)(x－1)<0，
①当a<0时，函数的定义域为∪(1，＋∞)；
②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；
③当0<a<2时，函数的定义域为.
(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，
∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可．
令g(x)＝，
即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0.
解法一：g′(x)＝＝，
∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0.
g(4)≥0，即1－2a≥0，∴a≤，∴a∈.
解法二：∵g(x)＝＝－a＋，
∴要使g(x)＝－a＋在(2,4)上是减函数，只需2－a>0，∴a<2，
以下步骤同解法一．
18．(文)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，
∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)∪.

(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，
∴a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．
(理)(2022·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4x＋1)＋ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；
(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立，
即log4(4x＋1)＋ax＝log4(4－x＋1)－ax，
所以2ax＝log4＝log4＝－x，
所以(2a＋1)x＝0恒成立，
则2a＋1＝0，故a＝－.
(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4x＋1)＋ax＋log4(4－x＋1)－ax＝log4(4x＋1)＋log4(4－x＋1)＝log4[(4x＋1)·(4－x＋1)]＝log4(2＋4x＋4－x)≥log4(2＋2)＝1.
所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt＋m，
由解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是[－1，]．