2021届高考文科数学二轮复习提能专训1-函数与方程思想.docx

提能专训(一)　函数与方程思想
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1)　　　　　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案：B
解析：设φ(x)＝f(x)－(2x＋4)，则φ′(x)＝f′(x)－2>0，∴φ(x)在R上为增函数，又φ(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴由φ(x)>0，可得x>－1.故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
2．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有(　　)
A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)
答案：D
解析：由题意，得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，故选D.
3．(2022·太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时，n的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　　 B．5　　　　　
C．6　　　　　　　　　　　　 D．7
答案：B
解析：　设{an}的公差为d.
由得因此等差数列{an}的通项公式为an＝2n－11，令an>0，解得n>，故前5项和最小．
4．(2022·开封摸底考试)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．212　　　　　　　　　　　 B．29　　　　
C．28　　　　　　　　　　　 D．26
答案：A
解析：f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)
＝a1a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212.
5．(2022·贵州六校联考)已知f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝xsin x，若a＝f(cos 1)，b＝f(cos 2)，c＝f(cos 3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．b<c<a
答案：B
解析：由于函数为偶函数，故b＝f(cos 2)＝f(－cos 2)，c＝f(cos 3)＝f(－cos 3)，由于x∈，f′(x)＝sin x＋xcos x≥0，即函数在区间上为增函数，依据单位圆中三角函数线易得0<－cos 2<cos 1<－cos 3<，依据函数单调性．可得f(－cos 2)<f(cos 1)<f(－cos 3)，故选B.
6．函数y＝的图象的大致外形是(　　)

答案：A
解析：函数y＝的图象过点，排解B，C，D，故选A.
7．(2022·江西重点中学联考)下列函数中，与函数f(x)＝的奇偶性、单调性均相同的是(　　)
A．y＝ln(x＋) B．y＝x2
C．y＝tan x D．y＝ex
答案：A
解析：f(x)＝(ex－e－x)的定义域为R，且f(－x)＝(e－x－ex)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数且为增函数，易排解选项B，C，D，选A.
8．设x1，x2是方程ln|x－2|＝m(m为实常数)的两根，则x1＋x2的值为(　　)
A．4 B．2
C．－4 D．与m有关
答案：A
解析：方程ln|x－2|＝m的根即函数y＝ln|x－2|的图象与直线y＝m的交点的横坐标，由于函数y＝ln|x－2|的图象关于x＝2对称，且在x＝2两侧单调，值域为R，所以对任意的实数m，函数y＝ln|x－2|的图象与直线y＝m必有两交点，且两交点关于直线x＝2对称，故x1＋x2＝4.
9．函数f(x)＝(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)的零点有(　　)
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
答案：C
解析：由x－2 015>0，解得x>2 015，
故函数f(x)的定义域为(2 015，＋∞)．
由f(x)＝0，即(x2－2 014x－2 015)ln(x－2 015)＝0，得x2－2 014x－2 015＝0或ln(x－2 015)＝0，由x2－2 014x－2 015＝0，即(x＋1)(x－2 015)＝0，解得x＝－1或x＝2 015，明显都不在函数f(x)的定义域内，故不合题意；
解ln(x－2 015)＝0，即x－2 015＝1，解得x＝2 016.
所以函数f(x)只有一个零点．故选C.
二、填空题
10．(2022·忻州第一次联考)在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值是________．
答案：5
解析：由已知，可得an＝4n－3，对数列{S2n＋1－Sn}，有(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝＋－<0，因此数列{S2n＋1－Sn}单调递减，∴≥(S2n＋1－Sn)max＝S3－S1＝，即m≥，故正整数m的的最小值为5.
11．(2022·银川月考)下列结论中：
①函数y＝x(1－2x)(x>0)有最大值；
②函数y＝2－3x－(x<0)有最大值2－4；
③若a>0，则(1＋a)≥4.
正确的序号是________．
答案：①③
解析：函数y＝x(1－2x)的对称轴为x＝，故当x＝时，函数取到最大值，①正确；函数y＝2－3x－＝2＋，由于x<0，所以y≥2＋4，②错误；由于a>0，则(1＋a)＝2＋a＋≥4，③正确．
12．(2022·保定调研)若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x∈________.
答案：
解析：由题意可知，f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f(mx－2)＋f(x)<0可变形为f(mx－2)<f(－x)，∴mx－2<－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2,2]，可得当m∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立，若x≥0，g(2)<0；若x<0，g(－2)<0，解得－2<x<.
13．(2022·武汉4月调研)已知函数f(x)＝axsin x－(a∈R)，若对x∈，f(x)的最大值为，则
(1)a的值为________；
(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________．
答案：(1)1　(2)2
解析：利用导数确定函数单调性，再利用数形结合求零点个数．
(1)由于f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，当a≤0时，f(x)在x∈上单调递减，最大值f(0)＝－，不符合题意，所以a>0，此时f(x)在x∈上单调递增，最大值f＝a－＝，解得a＝1，符合题意，故a＝1.
(2)f(x)＝xsin x－在x∈(0，π)上的零点个数即为函数y＝sin x，y＝的图象在x∈(0，π)上的交点个数，又x＝时，sin ＝1>>0，所以两图象在x∈(0，π)内有2个交点，即f(x)＝xsin x－在x∈(0，π)上的零点个数是2.
三、解答题
14．(2022·安徽合肥质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4(x∈R)在x＝2处取得微小值．
(1)若函数f(x)的微小值是－4，求f(x)；
(2)若函数f(x)的微小值不小于－6，问：是否存在实数k与函数f(x)，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．若存在，求出k的取值集合与f(x)；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由知，
解得
检验可知，满足题意，
故f(x)＝x3－2x2－4x＋4(x∈R)．
(2)假设存在实数k，使得函数f(x)在[k，k＋3]上单调递减．
设f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x2＝2.由f′(x)<0，得x∈(x1，x2)，
∴f(x)的单调递减区间为[x1，x2]．
由x1＋2＝－，解得x1＝－－2，
∴f(x)的单调递减区间为.
由条件有解得
∴函数f(x)在[－1,2]上单调递减．
由得k＝－1，
∴存在实数k＝－1，满足题意．
∴k的取值集合是{－1}，f(x)＝x3－x2－6x＋4.
15．(2022·石家庄质检二)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．
解：(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，依据题意，得
＝，
化简，得x2＝4y.
(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，
由消去y，得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
且Δ＝16k2＋16b.
以点P为切点的切线的斜率为x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－x，
同理过点Q的切线方程为y＝x2x－x.
设两条切线的交点A(xA，yA)，
∵x1≠x2，解得
即A(2k，－b)，
则2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16>0，
∴|PQ|＝|x1－x2|＝4，
又A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，
∴S△APQ＝|PQ|·d＝4|k2＋b|·＝4(k2＋b)＝4(k2－2k＋2)＝4[(k－1)2＋1]，
∴当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．
16．(2022·江苏扬州中学期中)已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0，
(1)若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m的取值范围；
(2)若该方程的两个根都在(0,1)内且它们的平方和为1，求实数m的取值集合．
解：(1)记f(x)＝4x2－2(m＋1)x＋m
则有f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，
解之得，2<m<4.
即m的取值范围为(2,4)．
(2)由题意，设x1＝sin α，x2＝cos α，α∈，
则有解之得m＝，检验符合题意，所以m∈{}．
17．(2022·皖南八校联考)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|2x＋5|}(x∈R)．
(1)求f(0)，f(－3)；
(2)作出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间；
(3)若关于x的方程f(x)＝m有且仅有两个不等的实数解，求实数m的取值范围．
解：f(x)的图象如图中粗线所示．

(1)f(0)＝max{1,5}＝5，f(－3)＝max{2,1}＝2.
(2)由图象可知，f(x)的单调减区间为(－∞，－2]，单调增区间为[－2，＋∞)
(3)f(x)min＝f(－2)＝1，由f(x)图象可知，当m>1时，方程f(x)＝m有且仅有两个不等的解．