2022届-数学一轮(理科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-3-.docx

第3讲　圆的方程

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是
(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析　AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案　A
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－2)∪ B.
C．(－2,0) D.
解析　方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.
答案　D
3．(2021·宁波二中质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是
(　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
解析　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
由于0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，
即>，所以原点在圆外．
答案　B
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为
(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案　A
5．(2021·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得由于点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案　A
二、填空题
6．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为________．
解析　圆x2＋y2－2x－4y＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
则圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为＝，解得a＝0或2.
答案　0或2
7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案　x＋y－1＝0
8．(2021·台州中学调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．
解析　由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案　
三、解答题
9．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又由于圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
解　由于圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即6x＋y－23＝0.
又由于圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上，
由解得圆心为(3,5)，
所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为
(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9
B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25
C．(x＋6)2＋2＝
D.2＋2＝
解析　由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1　①，由此圆在y轴上截得的弦长为2，得b2－a2＝5　②，由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选A.
答案　A
12．已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且分别与x轴、y轴交于A，B两点，则△OAB的面积等于
(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
解析　设圆心的坐标是.∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，∴圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，∴B点的坐标为；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.
答案　C
13．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析　据题意圆x2＋(y－1)2＝1上全部的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1.故m的取值范围是[－1，＋∞)．
答案　[－1，＋∞)
14．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解　法一　将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1，y2满足条件：y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.
故＋＝0，解得m＝3，
此时Δ＝202－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圆心坐标为，半径r＝.
法二　如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为O1，
设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，
∴x0＝＝－1，y0＝＝2.
即M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解　(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.
又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得此时，圆P的半径r＝.
由
得此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.

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