八年级数学几何训练题(全等三角形、等腰三角形）.pdf

八年级数学几何训练题(全等三角形、等腰三角形)1、如图，平面直角坐标系中，A A OB为等腰直角三角形，且OA-A B.(1)如图，在图中画出A A OB关于B 0的轴对称图形A QB,若A(-3,1),请求出A点的坐标:(2)当A A OB绕着原点0旋转到如图所示的位置时，A B与y轴交于点E,且A E=B E.A F_L y轴交B 0于F,连结EF,作A G EF交y轴于G.试判断A A G E的形状，并说明理由；当A A OB绕着原点0旋转到如图所示的位置时，若A(Q,3),c为x轴上一点，且OC=OA,NB 0C=15 ,P为y 轴上一点，过P做PN_L A C于N,PM _L A O于M,当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：PO+PN-PM不变，PO+PM+PN不变.其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值.12、如图，已知等边三角形A B C中，点D,E,F分别为边A B,A C,B C的中点，M为直线B C上一动点，ZXD M N为等边三 角形(点M的位置改变时，也随之整体移动).(1)如图，当点M在点B左侧时，EN与M F的数量关系为；(2)如图，当.点M在B C上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与M F的数量关系是否仍然成立？若成立，请 利用图证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断的结论中EN与M F的数量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明.3、已知两个全等的等腰直角口上B C、A D EF,其中NA CB=ND FE=90，E为A B中点，A D EF可绕顶点E旋转，线段D E,EF分别交线段CA,CB(或它们所在直线)于 M N.如图1,当线段EF经过口力8c的顶点c时，点N与点C重合，线段D E交A C于此求证：A M=M C；(2)如图2,当线段EF与线段B C边交于N点，线段D E与线段A C交于M点，连M N,EC,请探究A M,M N,CN之间的等 量关系，并说明理由；(3)如图3,当线段EF与B C延长线交于N点，线段D E与线段A C交于M点，连M N,EC,请猜想A M,M N,CN之间的 等量关系，不必说明理由。24、在 Rta/充中，AC=BC,ZACB=90,D 是 A C 的中点，D G _L A C 交 A B 于点 G.(1)如图1,9为线段加上任意一点，点F在线段D G上，且D E=D F,连结EF与CF,过点/作碗_/匕 交直线 于点H.求证：D G=D C判断)与我C的数量关系并加以证明.(2)若后为线段%的延长线上任意一点，点F在射线D G上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画 图形中找出一对全等三角形，并判断你在中得出的结论是否发生改变，(本小题直接写出结论，不必证明).图1 图25、如图，/充和0国都是边长相等的等边三角形，点反月同时分别从点反4出发，各自沿加、/方向运动到 点2、停止，运动的速度相同，连接反、FC.(1)在点E、F运动过程中NaF的大小是否随之变化？请说明理由；在点反月运动过程中，以点4、E、C、6为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；(3)连接EF,在图中找出和N/相等的所有角，并说明理由.36、在平面直角坐标中，边长为2的正方形Q4B C的两顶点幺、c分别在y轴、X轴的正半轴上，点在原点.现将正方形o.c绕。点顺时针旋转，当上点第一次落在直线y=*上时停止旋转，旋转过程中，工b边交直线二 x于点M,B C边交X轴于点曾(如图).(1)求边Q4在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当涮和工C平行时，求正方形 Q4B C旋转的度数；(3)设A M 3 R的周长为R,在旋转正方形Q4B C的过程中，a值是否有变化？请证明你的结论.7、已知正方形4合笫中，为对角线加上一点，过9点作鼠L初交比1于凡 连接加；G为DF中点,连接用;，CG.(1)求证：除CG；(2)将图中A B 绕夕点逆时针旋转45,如图所示，取小中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中弼绕夕点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过 观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)48、已知：如图所示，直线泌“NB,NM8与NA如的平分线交于点C,过点C作一条直线？与两条直线 刈、须分别相交于点以E.（1）如图1所示，当直线？与直线M垂直时，猜想线段心、BE、之间的数量关系，请直接写出结论，不用 证明；（2）如图2所示，当直线？与直线M不垂直且交点以 后都在的同侧时，（D中的结论是否成立？如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线,与直线必不垂直且交点以E在上3的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段心 BE、上3之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关 系.9、一位同学拿了两块45的三角尺的区 做了一个探究活动：将例区的直角顶点放在/a1的斜边四的中点处，没AC=BC=a.（1）如图1,两个三角尺的重叠部分为则重叠部分的面积为,周长为；（2）将图1中的恻T绕顶点逆时针旋转45,得到图2,此时重叠部分的面积为，周长为5(3)如果将/功r绕旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以 验证.10、若尸为3 C所在平面上一点，且乙4产3=/8尸=/仃幺=120,则点尸叫做的费马点.(1)若点产为锐角上B C的费马点，且乙48c=60，PA=3,PC=4,则期的值为；(2)如图，在锐角外侧作等边金CB 连结B B.求证：BB1过H 5 C的费马点尸，且B E，=R4+F8+H 7.11、已知，如图，A D是A A B C中NB A C的角平分线，D E_L A B,D F_L A C垂足分别是E、F。求证：(1)A E=A F,A D 平分NED F；(2)请你猜想，A D与EF有何关系，并证明你的结论。12、在4A B C中，A D是中线，0为A D的中点，直线1过点0,过A、B、C三点分别作直线1的垂线，垂足分别为G,E,F,当直线1绕点0旋转到与A D垂直时(如图1)易证:B E+CF=2A G0当直线1绕。点旋转到与A D不垂直时，如图2,图3两种情况下，线段B E,CF,A G又有怎样的数量关系?写出你的猜 想，并对图3的猜想给予证明。13、将一个含45角的直角三角板A B C和一把直尺按图示的位置放在一起，其中直角的顶点C在直尺上，如果分别 过A、B两点向直尺作两条垂线段A M和B N.试探索线段A M B N、M N长度之间的关系，并说明理由.614、如图，已知aA B C中，A B=B C=1,ZA B C=90,把一块含30角的直角三角板D EF的直角顶点D放在A C的中点上(直角三角板的短直角边为D E,长直角边为D F),将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转。(1)在图中，D E交A B于M,D F交B C于N。证明：D M=D N；在这一旋转过程中，直角三角板D EF与4A B C的重叠部分为四边形D M B N,请说明四边形D M B N的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图的位置，延长A B交D E于延长B C交D F于N,D M=D N是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由;(3)继续旋转至如图的位置，延长FD交B C于N,延长ED交A B于血D2D N是否仍然成立？请写出结论，不 用证明。15、如下图,ZXA B C 中，ZA CB=90，D为A B上一点，过D点作A B的垂线，交A C于E,交B C的延长线于F。(1)N1与NB有什么关系？说明理由。(2)若B C=B D,请你探索A B与FB的数量关系，并且说明理由。16、如图(1),一等腰直角三角尺G EF的两条直角边与正方形A B CD的两条边分别重合在一起，现正方形A B CD保持 不动，将三角尺G EF绕斜边EF的中点0(点。也是B D的中点)按顺时针方向旋转.7(2)(1)如图(2),当EF与A B相交于点M,足的数量关系，并证明你的猜想：G F与B D相交于点N时，通过观察或测量B M,FN的长度，猜想B M、FN满(2)若三角尺G EF旋转到如图(3)所示的位置时，线段FE的延长线与A B的延长线相交于点血 线段B D的延长线 与G F的延长线相交于点N,此时，(1)中的猜想还成立吗?若成立，请证明：若不成立，请说明理由.17、已知：如图，P是正方形A B CD内一点，在正方形A B CD外有一点E,满足NA B E=NCB P,B E=B P.D.A(1)求证：ZCPB义ZXA EB；(2)求证：PB B E；(3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C,总在同一条直 线上，连结oc.图1 图2(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；8(2)证明：DC BE.19、如下图，在等腰A A B C中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结A P交B C于点 E,连结B P交A C于点F。(1)证明：ZCA E=ZCB F；(2)证明：A E=B F；(3)以线段A E,B F和A B为边构成一个新的三角形A B G(点E与点F重合于点G),记A A B C和A A B G的面积分别为 Saabc和Saabg,如果存在点P,能使Saabc=Saabc,求NC的取值范围。20、如图，边长为以的菱形A B CD中，ZD A B=60,E为A D上异于A,D两点的一动点，F是CD上一动点，且A E+CF=a.求证：不论E,F怎样移动，4B EF都是等边三角形.参考答条1、(1)解:如图所示：A QB为所画的轴对称图形过A做A C_L x轴于C,A iD J_x轴于DVA(-3,1).,.A C=1,OC=39VOA=A B,ZB A 0=90/.ZB 0A=45.ZB OA F450.N A OA 尸 90 ZA 0C+ZA i0D=90又.NA 0C+N0A C=180-ZA C0=90/.ZCA O-ZA,OD又：NA C0=N0D A i=90A O=A)OZ.A A COA OD A,/.A C=OD=1,0C=A,D=3，A i,(1,3)(2)A A EG为等腰三角形证明：过B做B H _L A B于B交A F的延长线于HZOA E=NA B H=90ZA 0E=ZB A H=90-ZOA HOA=A BA A EOA B H AZA EO=ZB H AXVZEB F=ZH B F=45 B F=B F.,.B EFA B H F(S A S)10Z.ZB H F=ZB EFVA G/7EFZEA G=ZB EFZ.ZEA G=ZA EG.*.A G=EG即A A EG为等腰三角形(3)P0+PN-PM=3 不变解：过A做A L _L x轴于L,连结A P、PCVA(百,3)A L=3VZA 0C=45 +15 =600C=0A.A OC为等边三角形Me；亚 o c；乃。o c+：酊；FM&又.S皿=Sg0c+工期c-Er.*.P0+PN-PM=A L=32、(1)EN=M F；(2)成立.证明如下:11连结D EVA A B C是等边三角形，.*.A B=A C=B C,ZA=60XVA D=2 A B,A E=2 A C.*.A D=A E.A A D E是等边三角形.,.D E=A D=B D ZA D E=60同理可证：ZB D F=60Z.ZM D F+ZB D M=60又D M N是等边三角形ZM D N=60ZED N+ZB D M=60/.ZED N=ZM D F(3)由()得：D NE之D M F(S A S)二.EN=M F(3)画图正确(连出线段NE)M F=NE仍然成立.3、(1)：A(=BC,E 为 AB 中点、12CEL AB,/ACE=/BCE=2 ACB=45：.ZAEC=W：.ZA=ZACE=45:.AE=CE,:DF=EF,/DFE=9VZ/45:./FElS NAEC又：A行CEA 忙 MC(2)AM=MNCN,理由如下：在力截取使得/乐四 连接BH由(1)知力比龙，/左Na炉45AH=CN,乙ANCE在 LAHE 与kCNE 中:4后=匿：ZRE 3NE：.HE=NE,AAEH=ACEN:.ZHEM=ZAEC-ZAEH-MEOZAEC-Z CEN-MEO AAEC-/ME斤9V-45*=45。:./HE距 4NE后45AH=CN,乙ANCE在bHEM 与bNEM 中：lAS=cs：,LHEM 处NEM：-H拒 MN:.腑A H+H M=CN+腑即 AlMlCN13(3)猜得腑=AM RCN4、证明：(1)VA C=B C,ZA CB=90ZA=ZB=45 又 G D _L A C.ZA D G=90图1在A A D G中,ZA+ZA D G+ZA G D=180/.ZA G D=45；.NA=NA G DA A D=D G又D是A C中点A A D=D C.*.D G=D C由D G=D CXVD F=D E/.D F-D G=D C-D E即 FG=CE.由 NA G D=45.,.ZH G F=18Oo-45o=13 5 又 D E=D F,ZED F=9014Z.ZD EF=45 Z.ZCEF=18O-45=13 50ZH G F=ZFEC又 H FCFZH FC=90ZG FH+ZD FC=18Oo-9Oo=9Oo又RtA FD C中/.FG H A CEF(A S A)/.FH=FC(2)图略(10分)FH G A CFE不变，FH=FC5、(1)NECF 不变为 60证明A BCEL ACF得到/&方=/也得所以 N ECF=Z FCA+N A CE=NECB+ZA CE=ZBCA=60(2)答：证明：四边形/反行的面积=A/C的面积+A力比的面积=4人员:的面积+A应C的面积=力a1的面积(3)证明：/FCD+/DFC=2S,NAFE+/DFC=120,从而得到N4F=N9 所以 ZACE=AFCD=4AFE156、（1）解：.工点第一次落在直线二x上时停止旋转,旋转了 45.457rx 220A在旋转过程中所扫过的面积为360-2.(2)解：*./AC,ABAC=45,ABNM=ZBCA=45.ABNM.BM=BN.又：BA=BC,；.AM=CN.又04=OC,Z.0AM=乙OCN,：.L0AM 三 LOCN.、r ZA0M=-(90-45)=22.5Z-AOM=乙CON.：.2旋转过程中，当网和工C平行时，正方形C旋转的度数为45-22.5=22.5(3)答：P值无变化.证明：延长胡交轴于点，则440=45-440暇，NC0N=90-45-zS4OM=45-zLAOM,:.乙AOE=LCON.又.O4=0C,ZOAE=180-90=90=Z.OCN.16：.LOAE=LOCN.OE=ON,AE=CN又.ZMO=ZW2V=45,OM=OM,小OME 三 M)MN.：.MN=ME=AM+AE.:.MN=AM+C拉,.p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋转正方形的过程中，尸值无变化.7、解：(1)证明：在RtFCD中，G为D F的中点，CG=FD.同理，在RtZXD EF中，EG=FD.CG=EG.(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.证法一：连接A G,过G点作M N_L A D于M,与EF的延长线交于N点.在A D A G与A D CG中，,/A D=CD,ZA D G=ZCD G,D G=D G,Z.A D A G A D CG.Z.A G=CG.17在口!;与FNG 中，,/ZD G M=ZFG N,FG=D G,ZM D G=ZNFG,A D M G A FNG.Z.M G=NG在矩形A ENM中，A M=EN.在 RtZXA M G 与 RtZXENG 中，,/A M-EN,M G-NG,A A M G A ENG.Z.A G=EG.Z.EG=CG.(3)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有:EG _L CG.8、解：(1)AD+BE=AB(2)成立.方法一图（方法一）：在26上截取幺G=4Z）,连接CG.rZl=Z2,AC=AC二的C94 GC：.Z5=Z618v AM II BN：,Nl+N2+N3+N4=180vZl=Z2,N3=N4：.N2+N3=90：.ZACB=90即 N6+N7=90.Z5+Z6+Z74-Z8=180o：.Z5+Z8=90：.Z7=Z8.N3=N4,BC=BC：,BG=BE：,AD+BE=AG+BGAD+BE=AB（方法二）：过点C作直线尸G_L4W,垂足为点F,交BN于点G.作,垂足为点打.方法二图由得皿+8。=四19v AM II BN,ZAFG=90c：,Z5GF=ZFGE=90V Z1=Z2,N3=N4：,CF=CHf CH=CG：.CF=CG.N5=N6：.DF=EG：,AD+BE=AF+BG=AB（方法三）：延长B C,交4M于点F.AM II BN：.N5=N4.N3=N4：.N5=N3:.AF=AB/Z1=Z2,AC=AC：./1AFC/ABC：.CF=CBvZ6=Z7:ZCD 以 4BCEDF=BEAD+BE=AD+DF=AF=AB（3）不成立.存在.当点刀在射线期上、点下在射线B N的反向延长线上时（如图），AD-BE=AB20当点在射线期的反向延长线上，点与在射线8N上时(如图)，BE-AD=AB方法三图图1“2 a9、解：4,(1+盘)a；1/a(2)4,2a；1“2一Cl(3)猜想：重叠部分的面积为4。理由如下：过点分别做/G 回的垂线/次MG,垂足为从G。为说明方便，不妨设椒与的交点为耳物T与回的交点为凡由于是力a1斜边四的中点，AC=BC=a1一a所以 MH=MG=221又因为/HME=4GMF所以Rt加峰Rt加户分因此阴影部分的面积等于正方形屐糊的面积。1 1 1 2ct ct a而正方形CG阳的面积是殷,杨三2 x 2=4工川所以阴影部分的面积是O10、(1)2招.(2)证明：在S3,上取点尸，使4尸C=120,连结工产，再在网上截取尸=尸5连结CE./Z5PC=120,：.N 呼C=60,.产理为正三角形，：,PC=CE,ZPCE=60,NC班=120,.4C9为正三角形，：.AC=B C,ZZC5J60。，：.ZPCA+ZACE=AACE+ZECBt=60,：,ZPCA=ECBf,.4C产逐 CE22：.ZAPC=ZB,CE=120 PA=EBf,：.ZAPS=ZAPC=Z.BPC=120,二尸为上C的费马点，/.班,过jBC 的费马点尸，支BF=EB,JB+PE=FA”B+FC.11、证明：(1)在aA ED和4A FD中，:A D是NB A C的角平分线,ZEA D=ZFA,又 D E_L A B,D F1A CZA ED=ZA FD=90,A D 为公共边，ZA D E=ZA D FA A ED A A FD(A S A).*.A E=A F又NA D E=NA D F,，A D 平分NED F(2)A D与EF垂直在A A EO和aA FO中A E=A F,ZEA 0=ZFA 0,OA 为公共边A A A EOA A FO(S A S)A ZA OE=ZA OF,而NA 0E+NA 0F=180,/.ZA 0E=ZA 0F=9023.,.A OEF 即 A D EFo12、解：图 2：B E+CF=2A G图 3：B E-CF=2A G证明：连接B F,过点D作D P_L 1,垂足是P,交B F于点HVA G 1 B E1 CF1，A G B EPH CFVA O=OD/.A G=PD,/B D=CD/.B H=H F,D H=2 CF/.PH=2-BE2 2Z.2 B E-2 CF=A G.*.B E=CF=2A G13、解：A M.B N.M N 长度关系为：A M+B N=M N证明：根据题意A C=B C,ZA CB=901Z.ZA CM+ZB CN=90VA M M N,B NM NA ZA M C=ZB NC=90,ZA CM+ZCA M=90/.ZCA M=ZB CN24Z.A A CM A CB N.,.A M=CN,CM=B N.A M+B N=M N14、解：(1)证明：连结 D B。在 RtaA B C 中，VA B=B C,A D=D C,.*.D B=D C=A D ZB D C=90 ZA B D=ZC=45 V ZD M B+ZD NB=180,ZD M B=ZD NC/.B M D g A CND.*.D M-D N四边形D M B N的面积不发生变化。由知B M D gZCND,Sabmd=Sackdk-1._ _ _ S 四边形 DMBN=SzsDBn+SabMD=SDNb+SadNC=SadBC=(2)D M=D N仍然成立。证明：连结 D B,在 RtZXA B C 中，VA B=B C,B D=D C,.ZD B M=ZD CN=13 5 V ZND C+ZCD M=ZB D M+ZCD M=90,ZCD N=B D M A CD N A B D M.*.D M=D NO(3)D M=D N15、解：(1)N1=NB理由：由NA CB=90,知Nl+NF=90又 D F_L A B,所以NB+NF=90则 N1=NB(2)A B-FB理由：在aA B C和4FB D中，-ZACB=ZFDB=90 BC=BD AABC、.4=/3 AB=FB2516、解析：（1）B M=FN.证明：因为A G EF是等腰直角三角形，四边形A B CD是正方形，所以NA B D=NF=45 ,OB=OF,又NB OM=NFON,所以OB M 0ZXOFN,贝IJB M=FM（2）B M=FN仍然成立.理由：因为aG EF是等腰直角三角形，四边形A B CD是正方形，所以ND B A=NG FE=45 ,OB=OF.所以NM B 0=N NFO=13 5 .又 NM 0B=NN0F,所以OB M 0ZOFN所以B M=FN.17、（1）略；（2）略；（3）存在，把4CB P绕点B顺时针旋转90就与aA B C重合18、（1）解：图2中上他191C0证明如下：ABC与幽？均为等腰直角三角形：,AB=AC,AE=AD,ABAC=EAD=90：.ZBAC+ACAE=AEAD+ZCAE即=:.ABE 以 IXACI）（2）证明：由（1）上庭9/18知ZACD=ZABE=45 又44cB=4夕ABCD=ZACB+ZACD=90DCA.BE19、证明：（1）.金8C是等腰,CW是底边上的高线，/C=尸=NB CP,26又:CP=CF,*ACF BCP,:/CAP=Z.CBP,即乙CAE=Z.CBF；（2）.ZACE=Z.BCF,Z.CAE=ZCBF,AC=BC,；,/ACE/BCF,；,AE=BF；（3）由知/G是以为底边的等腰，工$。=$叔躬 等价于4E=工C,1）当/C为直角或钝角时，在上中，不论点尸在S何处，均有所以结论不成立；2）当/C为锐角时，ZZ=90-izC,而NC4NA,要使只需使/C=/Ca4,此时,zCA ff=180 2/C,o 1_只须 180 2/C 90*-2/C,解得 60 V/C 90.20、证明：连接B D。在菱形 A B CD 中，Z4=ZC；60,A B=A D,/.A B D是等边三角形.ZED B=ZC=60,B D=B C.又：A E+ED=a,A E+CF=ao/.ED=CFA ED A FCB/.B E=B F,ZEB D=ZFB C.又.NFB C+ND B F=60./.ZEB D+ZD B F=60.即 NEB F=60.B EF为等边三角形27