2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第八章第6课时.docx

[基础达标]
1．(2021·高考湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D．由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1.
2．(2022·福建宁德一模)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)
A． B．
C．4 D．
解析：选C．由于椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.
3．(2022·辽宁六校联考)已知点P(2，)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线上的一点，E，F分别是双曲线的左，右焦点，若·＝0，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选C．由条件易得＝，且(2＋c，)·(2－c，)＝0，联立求得a2＝4，b2＝5.
4．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由⇒，由∠F1AF2＝90°，得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(3a)2＋a2＝(2c)2，得e＝.
5．(2022·山西阳泉调研)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(　　)
A．x±2y＝0 B．2x±y＝0
C．x±y＝0 D．x±y＝0
解析：选C．易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而＝，所以b＝c，a＝＝c，∴＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0.
6．(2021·高考天津卷)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
解析：由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，∴双曲线的半焦距c＝2.又双曲线的离心率为2，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
7．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3，0)，且焦距与实轴长之比为5∶3，则双曲线的标准方程是________．　
解析：可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为－＝1.
答案：－＝1
8．(2022·浙江杭州调研)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知||2＝||×||，即＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝.
答案：
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
[力气提升]
1．(2022·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选D．由题意知＝c，所以p＝2c，双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，得－＝1，即9a2－4b2＝4c2.又b2＝c2－a2.所以9a2－4c2＋4a2＝4c2，即13a2＝8c2，e＝＝.
2．(2022·山西阳泉高三第一次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．由题意知a＝1，b＝1，c＝，
∴|F1F2|＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝|F1F2|2＝8，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②
①－②得|PF1||PF2|＝4.
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析：由题可知A1(－1，0)，F2(2，0)，设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，
·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2
＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，
∴当x＝1时，·取得最小值－2.
答案：－2
4．(2021·高考湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
解析：

设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝C．又点P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2A．∴e＝＝＝＋1.
答案：＋1
5．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝ x.
即bx－2y＝0.
∴＝.
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
6．(选做题)直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)求双曲线C的方程．
解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，
所以e＝.
(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，
即x2－3y2＝3k2.
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，
得x2－3×3(x－2)2＝3k2.
化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2＝＝，
求得k2＝1.
故所求双曲线方程为－y2＝1.