2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第5篇-第4讲-数列求和.docx

第4讲　数列求和
[最新考纲]
1．娴熟把握等差、等比数列的前n项和公式．
2．把握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

知 识 梳 理
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(3)错位相减法
假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
(4)倒序相加法
假如一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
(5)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可接受两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．常见的拆项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
辨 析 感 悟
数列求和的常用方法
(1)当n≥2时，＝－.(×)
(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可依据错位相减法求得．(×)
(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5.(√)
(4)(2022·南京调研改编)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√)
[感悟·提升]
两个防范　一是用裂项相消法求和时，留意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．
二是含有字母的数列求和，常伴随着分类争辩，如(2)中a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种状况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.
同学用书第88页

考点一　分组转化法求和
【例1】 已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn.
解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以当n为偶数时，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
当n为奇数时，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，Sn＝
规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
【训练1】 (2022·湖州质检)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
故⇒⇒q＝3或1(舍去)．
所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋
(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n.
当n为偶数时，Sn＝n＋－＝＋n－；
当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－.
所以Sn＝

考点二　裂项相消法求和
【例2】 (2021·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.
解　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项an＝2n.
(2)证明　由于an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝

＝
＜＝.
规律方法 使用裂项法求和时，要留意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不行漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
【训练2】 (2021·滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解　(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，
当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
所以an＝an－1(n≥2)．
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)．
(2)由于1－Sn＝an＝n.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，
由于＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＝.
同学用书第89页
考点三　错位相减法求和
【例3】 (2021·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得

解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－，
所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.
故cn＝b2n＝＝(n－1)()n－1，n∈N*，
所以Rn＝0×()0＋1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－1)×()n－1，
则Rn＝0×()1＋1×()2＋2×()3＋…＋(n－2)×()n－1＋(n－1)×()n，
两式相减得
Rn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)×()n＝－(n－1)×()n＝－()n，
整理得Rn＝(4－)．
所以数列{cn}的前n项和Rn＝(4－)．
规律方法 (1)一般地，假如数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可接受错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项对齐”以便下一步精确     写出“Sn－qSn”的表达式．
【训练3】 (2021·嘉兴二模)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2.
(1)记bn＝an＋1，求证：数列{bn}为等比数列；
(2)求数列{nan}的前n项和Sn.
(1)证明　由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)．
由于bn＝an＋1，所以bn＋1＝3bn，
又b1＝a1＋1＝3，所以数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
(2)解　由(1)知an＋1＝3n，an＝3n－1，所以nan＝n·3n－n，
所以Sn＝(3＋2·32＋…＋n·3n)－(1＋2＋…＋n)，
其中1＋2＋…＋n＝，
记Tn＝3＋2·32＋…＋n·3n，①
3Tn＝32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②
两式相减得－2Tn＝3＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，
即Tn＝·3n＋1＋，
所以Sn＝－.

数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．　　　　　　　　　　　　　　　

答题模板7——求数列{|an|}的前n项和问题
【典例】 (14分)(2021·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
[规范解答] (1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， (2分)
即d2－3d－4＝0.故d＝－1或4. (4分)
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N* ， (6分)
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
由于d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
∴Sn＝－n2＋n， (8分)
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝Sn＝－n2＋n. (10分)
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. (12分)
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
[反思感悟] (1)本题求解用了分类争辩思想，求数列{|an|}的和时，由于an有正有负，所以应分两类分别求和．
(2)常消灭的错误：①当n≤11时，求{|an|}的和，有的同学认为就是S11＝110；②当n≥12时，求{|an|}的和，有的同学不能转化为2(a1＋a2＋…＋a11)－(a1＋a2＋…＋an)，导致出错．
答题模板　求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下：
第一步：求数列{an}的前n项和；
其次步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式下结论；
第五步：反思回顾：查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果．
【自主体验】
已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，
由题意，得
解得或
所以由等差数列的通项公式，可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)由(1)，知当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|
＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为 (　　)．
A．120 B．70 C．75 D．100
解析　由于＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.
答案　C
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 (　　)．
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.
答案　C
3．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝
(　　)．
A．9 B．8 C．17 D．16
解析　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
答案　A
4．(2022·西安质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 012＝(　　)．
A．22 012－1 B．3·21 006－3 C．3·21 006－1 D．3·21 005－2
解析　a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)
＝＋＝3·21 006－3.故选B.
答案　B
5．(2022·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn，则S2 014的值为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n，
∴＝＝＝－，
∴S2 014＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－＝.
答案　D
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析　设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，
则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
答案　－2　2n－1－
7．(2021·山西晋中名校联合测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝________.
解析　由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－ 1 005.
答案　－1 005
8．(2022·武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝____.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.
∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案　(4n－1)
三、解答题
9．正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)由a－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0，由于{an}是正项数列，则an＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，故bn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝＝.
10．(2021·烟台期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn.
解　(1)∵Sn＝2an－2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，
即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N*)．
∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2.
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴an＝2n.
(2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an
＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n， ①
∴2Sn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ②
①－②得－Sn＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1，
即－Sn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1
∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

力量提升题组

(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2022·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝ (　　)．
A. B．6 C．10 D．11
解析　依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.
答案　B
2．(2022·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ (　　)．
A．－100 B．0 C．100 D．10 200
解析　若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)
＝50×3＋×4＋50×(－5)＋×(－4)＝－100.
答案　A
二、填空题
3．设f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f＋f＋…＋f的值为______．
解析　当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＝＝1.
设S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5.
答案　5
三、解答题
4．(2022·洛阳模拟)在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和．
解　(1)依据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，
∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，
整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，
∴数列{an}是首项为－5，公差为3的等差数列，
∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8.
(2)|an|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n≤2时，Sn＝＝－＋n；
当n≥3时，Sn＝7＋＝－n＋14，
综上，Sn＝