高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章-拓展资料：走进高考中的“合情推理”.docx

走进高考中的“合情推理”
法国科学家庞加莱说过：“规律和直觉各有其必要的作用．惟有规律能给我们以牢靠性，它是证明的工具，而直觉则是制造的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理力气外，也独具匠心地设置了一些问题，考查同学的合情推理力气．
　　一、归纳
　　所谓归纳，是指通过对特例的观看和综合去发觉一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发觉某些相像性，再把相像性推广为一个明确表述的一般命题，最终对该命题进行检验或论证．归纳是发觉和生疏规律的重要手段．
　　１．观看图形，查找规律
　　例1　（高考广东卷）在德国不莱梅进行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从其次层开头，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则________； _________（答案用n表示）．

　　解析：，观看上图可知，，，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是，所以，
　　所以有，，
，，．
　　以上各式相加，得

．
所以应当填：；．
　　点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本学问中的思想或方法来设计题目．
　　2．分析式子，查找规律
　　例2　（高考湖南卷·理）设，，，，，，则（　　）
　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
　　解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简洁的情形．
　，，，，，
由此连续求导下去，四个一循环，
　　又，所以．故选（C）．
　　二、类比
　　大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相像性，是一种更确定的和更概念性的相像．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的全都性说清楚．类比是提出新问题和作出新发觉的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．
　　１．类比旧学问，推出新结论
　　例3　（高考湖北卷·文）半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则．　　①
　　①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
　　____________________________，　　②
　　②式可用语言叙述为__________．
　　解析：由供应的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出
　　，．
　　所以填：；
　　球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
　　点评：本题主要考查类比意识和发散思维，留意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．
　　2．类比新学问，推出新结论
　　例4　（高考四川卷改编）非空集合关于运算?茌满足：（1）对任意的，都有，（2）存在 ，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
　　①Ｇ＝｛非负整数｝，为整数的加法．
　　②Ｇ＝｛偶数｝，为整数的乘法．
　　③Ｇ＝｛平面对量｝，为平面对量的加法．
　　④Ｇ＝｛二次三项式｝，为多项式的加法．
　　其中Ｇ关于运算为“融洽集”的是_______．（写出全部“融洽集”的序号）
　　解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．
　　在①中，两个非负整数相加照旧是非负整数，e为非负整数集中的０．
　　在②中，要满足，则，明显．
　　在③中，两个平面对量相加照旧是平面对量，e为零向量．
　　在④中，此时的，不是二次三项式．
故填①③．