2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分22-正弦定理和余弦定理.docx
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开卷速查(二十二) 正弦定理和余弦定理 A级 基础巩固练 1.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB等于( ) A. B. C. D.1 解析:依据正弦定理,=,则sinB=sinA=×=,故选B. 答案:B 2.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=( ) A.2 B.2 C. D.1 解析:由正弦定理=得:=, 又∵B=2A,∴==, ∴cosA=,∴A=30°. ∴B=60°,C=90°,∴c= =2. 答案:B 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B=( ) A. B. C. D. 解析:依据正弦定理:asinBcosC+csinBcosA=b等价于sinAcosC+sinCcosA=,即sin(A+C)=. 又a>b,∴A+C=,∴B=.故选A项. 答案:A 4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=( ) A. B. C. D. 解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2××3×=5,即得AC=.由正弦定理=,即=,所以sin∠BAC=. 答案:C 5.[2022·课标全国Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( ) A.5 B. C.2 D.5 解析:由题意可得AB·BC·sinB=, 又AB=1,BC=, 所以sinB=,所以B=45°或B=135°. 当B=45°时,由余弦定理可得 AC==1, 此时AC=AB=1,BC=,易得A=90°, 与“钝角三角形”条件冲突,舍去.所以B=135°. 由余弦定理可得 AC==. 答案:B 6.[2022·江西]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( ) A.3 B. C. D.3 解析:由c2=(a-b)2+6可得a2+b2-c2=2ab-6 ①.由余弦定理及C=可得a2+b2-c2=ab ②.所以由①②得2ab-6=ab,即ab=6.所以S△ABC=absin=×6×=. 答案:C 7.[2022·福建]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于__________. 解析:方法一 在△ABC中,依据正弦定理,得=,所以=,解得sinB=1,由于B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°,所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sinC=2. 方法二 在△ABC中,依据正弦定理,得=,所以=,解得sinB=1,由于B∈(0°,120°),所以B=90°,所以AB==2,所以△ABC的面积S△ABC=·AB·BC=2. 答案:2 8.[2022·山东]在△ABC中,已知·=tanA,当A=时,△ABC的面积为__________. 解析:依据平面对量数量积的概念得·=||·||cosA,当A=时,依据已知可得||·||=,故△ABC的面积为||·||·sin=. 答案: 9.在△ABC中,若BC=1,A=,sinB=2sinC,则AB的长度为__________. 解析:∵=,∴=,∴AB=sinC. 又∵sinB=2sinC,∴sin(A+C)=2sinC. ∴sin=2sinC,∴tanC=. ∴C=,∴sinC=,∴AB=×=. 答案: 10.[2022·北京]如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的长. 解析:(1)在△ADC中,由于cos∠ADC=,所以sin∠ADC=. 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB =×-× =. (2)在△ABD中,由正弦定理得 BD===3. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB =82+52-2×8×5× =49. 所以AC=7. B级 力气提升练 11.[2022·重庆]已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式确定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 解析:由于A+B+C=π,由sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+得sin2A+sin2B+sin2C=,即sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=,整理得2sinCcos(A-B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=,整理得4sinAsinBsinC=,即sinAsinBsinC=.又S=absinC=bcsinA=casinB,因此S3=a2b2c2sinAsinBsinC=a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23,即8≤abc≤16,因此选项C、D不愿定成立.又b+c>a>0,因此bc(b+c)>bc·a≥8,即bc(b+c)>8,选项A确定成立.又a+b>c>0,因此ab(a+b)>ab·c≥8,即ab(a+b)>8,明显不能得出ab(a+b)>16,选项B不愿定成立.综上所述,选A. 答案:A 12.[2022·课标全国Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为__________. 解析:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c, 即(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cosA==,又A∈(0,π),所以A=.又b2+c2-a2=bc≥2bc-4,即bc≤4,故S△ABC=bcsinA≤×4×=,当且仅当b=c=2时,等号成立,则△ABC面积的最大值为. 答案: 13.[2022·辽宁]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 解析:(1)由·=2得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB. 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. 解得a=2,c=3或a=3,c=2. 因a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sinB===, 由正弦定理,得sinC=sinB=×=. 因a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===. 于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=. 14.[2022·湖南]如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=. (1)求cos∠CAD的值; (2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长. 解析:(1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD=. 故由题设知,cos∠CAD==. (2)如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 由于cos∠CAD=,cos∠BAD=-, 所以sin∠CAD= = =, sin∠BAD= = =. 于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =×-× =. 在△ABC中,由正弦定理,=. 故BC===3.- 配套讲稿:
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