2020-2021学年高中数学选修1-2单元测试卷：第三章+数系的扩充与复数的引入.docx

第三章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是(　　)
A．复数的模是正实数
B．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
D．相等的向量对应着相等的复数
解析　复数的模可能为0，故A项错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B项错．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故C项错，D项正确．
答案　D
2．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)
A．(2,4)　　　　　　　 B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
解析　iz＝2＋4i⇒z＝＝＝4－2i.其对应点的坐标为(4，－2)．
答案　C
3．i是虚数单位，()4等于(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析　∵＝＝＝i，
∴()4＝i4＝1.
答案　C
4．复数z＝＋(a2＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)
A．a＝0
B．a＝0，且a≠－1
C．a＝0，或a＝－2
D．a≠1，或a≠－3
解析　依题意得
解得a＝0，或a＝－2.
答案　C
5．复数的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析　＝＝－1.
答案　A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于(　　)
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析　设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则＝＝
＝．
∵∈R，
∴2＋b＝0，b＝－2.
∴z＝－2i.
答案　D
7．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)

A．A B．B
C．C D．D
解析　互为共轭复数的对应点关于x轴对称，故的对应点为B.
答案　B
8．复数＋的化简结果为(　　)
A.＋i B．－＋i
C．－＋i D．1－i
解析　＋＝＋＝＋＝＝－＋i.
答案　B
9．若1＋2ai＝(1－bi)i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝(　　)
A.＋i B.
C. D.
解析　∵1＋2ai＝b＋i，又a，b∈R，
∴即
∴|a＋bi|＝＝ ＝.
答案　C
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析　依题意知，＝zi＋z＝4＋2i，
∴z(1＋i)＝4＋2i.
∴z＝＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案　A
11．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i
C．1＋2i，或－1－2i D．2＋i，或－2－i
解析　若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可接受验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.
答案　C
12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析　∵z＝x＋yi，(x，y∈R)，
则＝x－yi，∴z－＝2yi，
∴|z－|＝|2y|≥2y，故A、C错．
又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B错．因此，正确答案为D.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．复数的共轭复数是________．
解析　＝＝＝－i.
∴共轭复数为＋i.
答案　＋i
14．若z1＝1＋i，z1·2＝2，则z2＝__________.
解析　∵z1＝1＋i，z1·2＝2，
∴2＝＝1－i.
∴z2＝1＋i.
答案　1＋i
15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________．
解析　∵(z1－z2)i
＝i
＝(－2＋20i)i
＝－20－2i，
∴(z1－z2)i的实部是－20.
答案　－20
16．已知虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是________．
解析　∵|(x－2)＋yi|＝.∴(x－2)2＋y2＝3.
设＝k，则y＝kx，代入圆的方程，并整理得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.∵该方程有解，∴Δ＝16－4(1＋k2)≥0，
∴|k|≤.
故的最大值为.
答案　
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，实数a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由．
解　若z为纯虚数，则

由①解得a＝3，或a＝－2，
分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a.
18．(12分)已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,1,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．
解　∵M∪N＝N，∴M⊆N.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
得解得m＝2.
综上知m的值为1或2.
19．(12分)已知复数z1＝m＋ni，z2＝2－2i和z＝x＋yi，设z＝i－z2，m，n，x，y∈R.若复数z1的对应点M(m，n)在曲线y＝(x＋2)2＋上运动，求复数z所对应的点P(x，y)的轨迹C的方程．
解　∵z1＝m＋ni，z2＝2－2i，
∴z＝i－z2＝(m－ni)i－(2－2i)＝(n－2)＋(m＋2)i.
又∵z＝x＋yi，m，n，x，y∈R，
∴∴
∵点M(m，n)在曲线y＝(x＋2)2＋上运动，
∴x＋2＝y2＋，即y2＝2x－1.
故点P(x，y)的轨迹C的方程为y2＝2x－1.
20．(12分)已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根.
(1)求a，b的值；
(2)试推断1－i是否是方程的根．
解　(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，
即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴∴
∴a，b的值分别为a＝－2，b＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2
＝0明显方程成立．
∴1－i也是方程的一个根．
21．(12分)设w＝－＋i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解　(1)证明　∵w＝－＋i，
∴w2＝(－＋i)2
＝＋2(－)(i)＋(i)2
＝－i－＝－－i.
∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0.
(2)由1＋w＋w2＝0知，
(w－1)(1＋w＋w2)＝0，
∴w3－1＝0，∴w3＝1.
∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)
＝(－2w2)(－2w)
＝4w3＝4.
22．(12分)设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
解　(1)证明　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2
＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2
＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，
∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.
∴|z1－z2|2＝68－36＝32.
∴|z1－z2|＝4.