2022届-数学一轮(理科)-人教A版-课时作业-第八章-立体几何-1-.docx

第1讲　空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是
(　　)

解析　由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
答案　B
2．(2021·合肥质量检测)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 (　　)

A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
解析　由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故选D.
答案　D
3.(2022·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 (　　)
A. B.
C. D.
解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
答案　A
4．(2022·四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)

A．3 B．2
C. D．1
解析　由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V＝××2××＝1.
答案　D
5．(2022·新课标全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)
A．6 B．4
C．6 D．4
解析　如图，设帮助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.
答案　C
二、填空题
6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．

解析　由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
答案　②③
7．(2022·山东卷)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________．
解析　如图，设点C到平面PAB的距离为h，△PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE－ADB＝×S×h＝Sh，所以＝.
答案　
8．已知三棱锥A－BCD的全部棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
解析　如图，构造正方体ANDM－FBEC.由于三棱锥A－BCD的全部棱长都为，所以正方体ANDM－FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.
易知三棱锥A－BCD的外接球就是正方体ANDM－FBEC的外接球，所以三棱锥A－BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积为S球＝4π＝3π.
答案　3π
三、解答题
9．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试推断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解　(1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图，其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，
即AD＝a，
∴该平面图形的面积S＝ a·a＝a2.
(3)V＝×6×a2×a＝a3.
10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解　(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·成都诊断)如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为
(　　)

A．7π cm2 B．8π cm2
C．9π cm2 D．11π cm2
解析　依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分，其中该圆柱的底面半径是1 cm、高是3 cm，该球的半径是1 cm，因此该几何体表面积等于×(4π×12)＋π×12＋2π×1×3＝9π(cm2)，故选C.
答案　C
12．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为 (　　)
A．3 B．2
C. D．1
解析　由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
答案　C
13．(2022·云南统一检测)已知球O的体积等于，假如长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于________．
解析　由球O的体积为＝πR3，得球O的半径R＝.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以该长方体的表面积2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以表面积的最大值为50.
答案　50
14．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明　在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，
∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.