高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章-知识归纳：椭圆.docx

2.1 椭圆
1、 椭圆：到两定点距离（）之和为定值（）的点的轨迹.（）, 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
2、要求
（1）当时，轨迹为线段；
（2）当时，轨迹为空集.
说 明：（1）若点满足定义，则点的轨迹是椭圆；
（2）若在椭圆上，则.
3、焦点在轴上的椭圆标准方程为

4、焦点在轴上的椭圆的标准方程为

5、椭圆标准方程的推导
建系：以F1、F2所在直线为轴，F1F2中点为原点,建立直角坐标系.
（图1）

设点：设为椭圆上任意一点，焦距为，则；又设
列式：由定义,椭圆是集合
化简：式子
方法一：两边直接平方，再平方；
方法二：先移项，再两次平方.
难点1：根式化简的关键是去根号.
难点2：令的缘由：既体现数学的对称美同时在后继的学习中也会体会到b所赐予的几何意义.
结论：焦点在轴上的椭圆标准方程为

焦点为，焦距为.

2.1.2 椭圆的简洁几何性质
1、 范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里.
2、 对称性：椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3、 顶点：在椭圆的标准方程里，令x=0得y=±b,所以得到：（0,b）、（0,-b）是椭圆与y轴的两个交点，同理令y=0，得x=±a，可得（a,0）、(-a,0)是椭圆与x轴的两个交点.由于x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b ,其中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.
4、 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比=e,叫做椭圆的离心率.0＜e＜1，e越接近于1，则c就越接近于a,从而b=越小，椭圆就越扁，反之，e越接近于0，则c就越接近于0，从而b就越接近于a，椭圆就越接近于圆.
5、列表整理椭圆的简洁几何性质
曲线
椭圆
定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹
标准方程

图形

顶点坐标
（±a,0）(0,±b)
(±b,0),(0,±a)
对称轴
x轴长轴长2a
y轴短轴长2b
x轴短轴长2b
y轴长轴长2a
焦点坐标
（±c,0）c=
(0,±c) c=
离心率
0＜
0＜
6、椭圆草图的画法
①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.
②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.
③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.
在画图时应留意图形的对称性及顶点四周的平滑性