高中数学(北师大版)必修五教案:3.2-典型例题:一元二次不等式解法.docx
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一元二次不等式解法·典型例题 [ ] 例3 若ax2+bx-1<0的解集为{x|-1<x<2},则a=________,b=________. 例4 解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x (2)x(x+11)≥3(x+1)2 (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2) [ ] A.{x|x>0} B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x>1或x=0} [ ] A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 D.(x-3)(2-x)≤0 [ ] 例9 已知集合A={x|x2-5x+4≤0}与B={x|x2-2ax+a+2 例10 解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0. 例11 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β}(0<α<β),求cx2+bx+a<0的解集. 例13 不等式|x2-3x|>4的解集是________. 例14 设全集U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a是常数),且11∈B,则[ ] A.(UA)∩B=R B.A∪(UB)=R C.(UA)∪(UB)=R D.A∪B=R 参考答案 例1: 例2 分析 求算术根,被开方数必需是非负数. 解 据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外”,所以x≥3或x≤-2. 例3: 分析 依据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax2+bx-1=0的两个根,考虑韦达定理. 解 依据题意,-1,2应为方程ax2+bx-1=0的两根,则由韦达定理知 例4: 分析 将不等式适当化简变为ax2+bx+c>0(<0)形式,然后依据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成). 答:(1){x|x<2或x>4} (4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式. 例5: 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是接受移项后通分. ∵x2>0,∴x-1>0,即x>1.选C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行争辩求解. 例6: 故排解A、C、D,选B. 两边同减去2得0<x-2≤1.选B. 说明:留意“零”. 例7: [(a-1)x+1](x-1)<0,依据其解集为{x|x<1或x>2} 答 选C. 说明:留意本题中化“商”为“积”的技巧. 例8: 解 先将原不等式转化为 ∴不等式进一步转化为同解不等式x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将生疏问题化归为生疏问题. 例9: 分析 先确定A集合,然后依据一元二次不等式和二次函数图像关 解 易得A={x|1≤x≤4} 设y=x2-2ax+a+2(*) 4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2. 说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例10: 分析 不等式的解及其结构与a相关,所以必需分类争辩. 解 1° 当a=0时,原不等式化为 x-2<0其解集为{x|x<2}; 4° 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2}; 从而可以写出不等式的解集为: a=0时,{x|x<2}; a=1时,{x|x≠2}; 说明:争辩时分类要合理,不添不漏. 例11: 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理: 解法一 由解集的特点可知a<0,依据韦达定理知: ∵a<0,∴b>0,c<0. 解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒数方程. 且ax2+bx+c>0解为α<x<β, 说明:要在一题多解中熬炼自己的发散思维。 例12: 分析 将一边化为零后,对参数进行争辩. 进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当a>0时,不等式化为 (2)a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式解集为{x|x<1}; 综上所述,原不等式解集为: 例13: 分析 可转化为(1)x2-3x>4或(2)x2-3x<-4两个一元二次不等式. 答 填{x|x<-1或x>4}. 例14: 分析 由x2-5x-6>0得x<-1或x>6,即 A={x|x<-1或x>6}由|x-5|<a得5-a<x<5+a,即 B={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a得a>6 ∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R. 答 选D. 说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、确定值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查- 配套讲稿:
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