2021高中数学北师大版必修一导学案：《对数》.docx

第5课时　对　　数

1.理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化.
2.了解常用对数与自然对数的意义.
3.熟记对数的运算性质及使用条件,理解对数恒等式.
4.能娴熟地运用对数的运算性质进行计算,把握对数的换底公式,并利用它进行恒等变换.

实例1:一尺之锤,日取其半,万世不竭.(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?
实例2:假设2008年我国国民生产总值为a亿元,假如每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值达到翻两番的目标?

问题1:依据上述情境,我们由指数函数来了解对数函数的意义:(1)取4次之后,还剩下(12)4=　　　　　　,我们设取x次后还剩下0.125尺,那么列出方程(12)x=0.125⇒x=　　　. 
(2)设经过x年国民生产总值达到翻两番的目标,那么 (1+8%)x=4,两边取常用对数可得:xlg 1.08=lg 4, 解得x=lg4lg1.08≈　　　　(年). 
问题2:两种特殊的对数
(1)常用对数,以10为底,log10N写成　　　　; 
(2)自然对数,以e为底(e为无理数,e=2.71828…),logeN写成　　　　. 
问题3:对数具有的运算性质:当a>0且a≠1,M>0,N>0时,有:
(1)loga(MN)=　　　　　　+　　　　　　; 
(2)logaMN=　　　　　　-　　　　　　; 
(3)logaMn=　　　　　　; 
(4)alogaN=　　　　. 
问题4:对数换底公式:
(1)logab=　　　　　　(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0). 
(2)推论: logab=1logba;loganbm=mnlogab.

1.对数式loga-2(5-a)=b,实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,5) B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)
2.式子log89log23的值为(　　).
A.23 B.32 C.2 D.3
3.(log32+log92)(log43+log83)=　　　　. 
4.已知log73=a,log74=b,试用a,b表示log4948.

对数的概念及其运算性质
求使log64x=-23成立的x的值.

换底公式的应用
(1)若log34·log48·log8m=log416,则m的值为(　　).
A.12　　 B.9　 C.18　 D.27
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.

用指数幂的运算性质求值
已知二次函数f(x)=lg a·x2+2x+4lg a的最大值为3,求a的值.

已知log2(log3x)=1,求x的值.

当ma=nb=　　　　时,1a+1b=1.(其中m,n为大于0且不为1的正数,a,b为不等于0的实数) 

设方程lg2x+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两个根是x1、x2,求x1x2的值.

1.25=32化为对数式为(　　).
A.log52=32　　　 B.log532=2
C.log232=5 D.log322=5
2.计算2-1+log25等于(　　).
A.52　 B.4　　 C.3　　 D.53
3.lg 50+lg 2·lg 5+lg22=　　　　. 
4.已知方程x2+x·log26+log23=0的两根分别为α和β,求(14)α·(14)β的值.

　　(2022年·安徽卷)(log29)·(log34)等于(　　).
A.14 B.12 C.2 D.4
考题变式(我来改编):

答案
第5课时　对　　数
学问体系梳理
问题1:(1)116　3　(2)18
问题2:(1)lg N　(2)ln N
问题3:(1)logaM　logaN　(2)logaM　logaN　(3)nlogaM　(4)N
问题4:(1)logcblogca
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1.C　依据对数式的意义得不等式组a-2>0,5-a>0,a-2≠1,∴2<a<5且a≠3.
2.A　∵log89=log232log223=23log23,
∴原式=23.
3.54　原式=(log32+12log32)(12log23+13log23)=32log32·56log23=54.
4.解:log4948=log748log749=log7(42×3)log772
=2log74+log732=a+2b2.
重点难点探究
探究一:【解析】由对数的定义,
可得x=64-23=(43)-23=4-2=116.
【小结】指数式ab=N与对数式logaN=b(a>0,且a≠1)是相同三个量的同一种数量关系的两种不同表达形式,这两种形式在同一问题中可以相互等价转化.
探究二:【解析】(1)由换底公式可得lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8=lgmlg3=log3m,
∴有log3m=log442=2,即m=32=9.
(2)(法一)由于18b=5,所以log185=b,
于是log3645=log1845log1836=log18(9×5)log18(18×2)=log189+log1851+log182
=log189+log1851+log18189=a+b2-a.
(法二)由于18b=5,所以log185=b,又log189=a,
于是log3645=log18(9×5)log181829=log189+log1852log1818-log189=a+b2-a.
(法三)由于log189=a,18b=5,
所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18.
所以log3645=lg45lg36=lg(9×5)lg 1829=lg9+lg52lg18-lg9
=alg18+blg182lg18-alg18=a+b2-a.
【答案】(1)B
【小结】(1)利用换底公式时,留意各个字母的取值范围,留意换底公式的正用、逆用、变换用,要机敏把握.(2)在解题过程中,依据问题的需要将指数式转化为对数式,或者将对数式转化为指数式的运算,这正是数学转化思想的具体体现,转化思想是中学重要的数学思想,要留意学习体会,逐步达到机敏运用的目的.
探究三:【解析】f(x)=lg a·(x+1lga)2-1lga+4lg a.
由题知:lga<0,-1lga+4lga=3,
⇒lg a=-14,∴a=10-14.
【小结】先通过配方求出最大值,再列出关于lg a的方程,最终转化为指数式求出a.
思维拓展应用
应用一:∵log2(log3x)=1,∴log3x=21=2,x=32=9.
应用二:mn　令ma=nb=k,∴a=logmk,b=lognk,
∴1a+1b=logkm+logkn=logk(mn).
∵1a+1b=1,∴logk(mn)=1,∴k=mn.
应用三:由题意知lg x1、lg x2是关于lg x的一元二次方程lg2x+(lg 2+lg 3)·lg x+lg 2·lg 3=0的两根,由韦达定理得:lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg16.
即lg x1x2=lg16,x1x2=16.
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1.C　由ab=N⇒logaN=b,知选C.
2.A　2-1+log25=2log252=52.
3.2　∵lg 5=1-lg 2,
∴原式=2-lg 2+lg 2(1-lg 2)+lg22=2.
4.解:由题意知:α·β=log23,α+β=-log26,
∴(14)α·(14)β=(14)α+β=(14)log216=(2-2)log216=(2log216)-2=(16)-2=36.
全新视角拓展
D　(log29)·(log34)=lg9lg2×lg4lg3=2lg3lg2×2lg2lg3=4.
思维导图构建
logaM+logaN　logaM-logaN　n·logaM　logcblogca