浙江省诸暨中学2022届高三上学期期中考试文科数学试卷-Word版含答案.docx

诸暨中学2021学年第一学期期中试题
高三 数学（文科）
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
其中表示球的半径 棱台的体积公式
棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 表示棱台的高
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集为，集合，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
3.设命题（其中为常数）则“”是“命题为真命题”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ▲ ）
A． B． C． D．

5.已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为（ ▲ ）
A. B. C. D.
6.设函数（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，
则的图象是（ ▲ ）
　 A． B． C． D．
7.已知实数满足的最大值为（ ▲ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1, （ ▲ ）
A.若确定，则 唯一确定 B.若确定，则 唯一确定
C.若确定，则 唯一确定 D.若确定，则 唯一确定

非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9.已知且，则=____▲_______, ____▲_______.
10.已知函数的最小正周期是____▲_______，单调递减区间是____▲_______,
11.设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则与的关系式为__ ▲___, ＋的最小值是____▲_______.
12. 在等差数列中，已知，前项和为，且有，则＝___▲_____
当取得最大值时， ▲ ．

13.已知若，则实数的取值范围是 ____▲ ．
14.已知是平面单位向量，，若平面对量满足，则＝______▲________
15.定义,已知实数x,y满足，设,则z的取值范围是____▲__________.

三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）设的内角所对应的边分别为,已知．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，且的面积为，试求sinC和a的值．

17.（本题满分15分）在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足(),则是否存在这样的实数使得为等比数列;
(III)数列满足为数列的前项和,求.

19．（本题满分15分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（Ⅱ）若且函数在上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围.
(III) 若且函数在上存在一个零点，试求实数a的取值范围.

20．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

诸暨中学2021学年第一学期高三数学（文）期中考试试题答题卷 座位号__________
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
B
B
D
C
D
C
B
二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。
9. -7
10. ,
11. 2a+b=1 8
12. 7
13. 14. 15.[]
三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本题满分14分）设的内角所对应的边分别为,已知．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，且的面积为，试求sinC和a的值．

（Ⅰ） ……..6分 （Ⅱ）……8分

17.（本题满分15分）在等差数列中,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足(),则是否存在这样的实数使得为等比数列;
(III)数列满足为数列的前项和,试别求和.

（Ⅰ）…………4分

（Ⅱ）…………4分

(III)
…………3分
………………4分

分析： （1）依据已知条件，取AD中点E，连接CE，简洁得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=，PC=1，AC=，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；
（2）简洁说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出．
解答： 解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；
∴；
AD=2，PD=1，∠APD=90°；
∴AP=，又PC=1；
∴AC2+PC2=AP2；
∴AC⊥PC；
如图，取AD中点E，连接CE；

AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；
∴CD=，AD=2；
∴AC⊥CD，CD∩PC=C；
∴AC⊥平面PCD；…………6分
（2）PC=PD=1，CD=；
∴PD⊥PC；
∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；
∴PD⊥平面PAC，PD⊂平面PAD；
∴平面PAC⊥平面PAD；
∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：
CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；
在Rt△PAC中，AC=，PC=1，PA=；
∴；
∴，CD=；
∴sin∠CDN=；
∴CD与平面APD所成角的正弦值为．………………9分
点评： 考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．

19．（本题满分15分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（Ⅱ）若且函数在上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围.
(III) 若且函数在上至少有一个零点，试求实数a的取值范围.
19. 【答案】（Ⅰ）；………..5分
（Ⅱ）………..5分

(III) ………..5分

20．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

20.【解析】（Ⅰ）若，则
y
x

O
当时，；当时，.
，此时，的图像如图所示
要使得有四个不相等的实数根满足，
即函数与的图像有四个不同的交点，
因此的取值范围为. …6分
（Ⅱ）（1）若，则，在上单调递增，满足条件；
（2）若，则，只需考虑的时候
此时的对称轴为，因此，只需，即：
（3）若，则
结合函数图像，有以下状况：
，即时，此时在内单调递增，因此在 内也单调递增，满足条件；

O
x
y
，即时，
在和内均单调递增，
如图所示，只需或，
解得：；
由可得，的取值范围为：
由（1）、（2）、（3）得，实数的取值范围为： …15分