2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-8-Word版含解析.docx
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1、圆锥曲线中的探究性问题典例(2022广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mxny1与圆O:x2y21相交于不同的两点A,B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的OAB的面积;若不存在,请说明理由审题视角第(1)问,由椭圆的离心率和椭圆上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3这两个条件,可求得椭圆方程;第(2)问,先假设存在满足条件的点M,将其代入椭圆方程,得出m,n的一个关系式,再在OAB中,由直线l与圆O相交于不同的两点,得
2、0,由根与系数的关系,利用设而不求的方法表示出OAB的面积,结合前面所得到的m,n的关系式和0的限制条件,可推断点M是否存在解析(1)解:由e得a23b2,所以椭圆方程为x23y23b2,椭圆上的点到Q的距离,d(byb)当b1时,即b1,dmax3得b1,当b1时,即b1,dmax3得b1(舍去)b1,椭圆C的方程为y21.(2)存在点M满足要求,使OAB的面积最大假设存在满足条件的点M,由于直线l:mxny1与圆O:x2y21相交于不同的两点A,B,则圆心O到l的距离d1.由于点M(m,n)在椭圆C上,所以n21m2n2,于是0m23.由于|AB|22,所以SOAB|AB|d当且仅当1m2
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