2020-2021学年高中数学选修1-2双基限时练4.docx

双基限时练(四)
1．下列说法中正确的是(　　)
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案　D
2．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lgx＋lgy
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析　由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．
答案　D
3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是(　　)
A．三棱柱　　　　　　　　 B．三棱台
C．三棱锥 D．正方体
答案　C
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四周体的下列性质，你认为比较恰当的是(　　)
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案　D
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四周体的体积为(　　)
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四周体的四个面的面积，r为四周体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四周体的高)
解析　平面几何与立体几何的类比，类比的学问点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.
答案　C
6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为(　　)
A.＋＋＝1
B.＋＋＝1
C. ＋＋＝1
D．ax＋by＋cz＝1
答案　A
7．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析　圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．
答案　V球＝πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)
8．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案　b＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)
9．坐标平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为(，)．类比以上结论，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心G的坐标为________．
答案　(，)
10．找出圆与球的相像之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.
圆
球
(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦
(1)_____________________________________________ __________
(2)与圆心距离相等的弦长相等
(2)_______________________________________________________
(3)圆的周长C＝πd
(3)_______________________________________________________
(4)圆的面积S＝πr2
(4)________ _______________________________________________
答案　(1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面
(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等
(3)球的表面积S＝4πr2
(4)球的体积V＝πr3
11．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？
解　设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则
kAP·kBP＝·＝.
由于A，B，P三点都在椭圆上．
所以两式相减有＋＝0，
所以＝－，即kAP·kBP＝－.
故椭圆＋＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－.
12．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.
在四周体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

图1
解　如图1所示，在Rt△ABC中，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又∵BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想在四周体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则＝＋＋.

图2
如图2，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋.