2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第十章-第九节离散型随机变量的均值与方差.docx

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课时提升作业(七十二)
一、选择题
1．已知X的分布列为
X
-1
0
1
P

则下列命题：①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是( )
(A) (B) (C) (D)
3．(2021·杭州模拟)若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是( )
(A) (B) (C) (D)
4.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为( )
(A) (B) (C)3 (D)
5．已知随机变量X～B(6，)，则P(－2≤X≤5.5)＝( )
(A) (B) (C) (D)
6.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )

(A)A1 (B)A2 (C)A3 (D)A4
二、填空题
7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a.若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于____________．
8.某毕业生参与人才聘请会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝_________.
9.(2021·莆田模拟)抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点毁灭时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是____________.
10.(力气挑战题)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝_________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________．
三、解答题
11.某品牌汽车的4S店，对最近100位接受分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客一次付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.
付款方式
一次
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20
a
10
b
(1)若以频率作为概率，求大事A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位接受分3期付款”的概率P(A).
(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．
12.(2021·三明模拟)某同学参与语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成果的概率为,数学、英语课程取得优秀成果的概率分别为m,n(m＞n)，且该同学3门课程都获得优秀成果的概率为,该同学3门课程都未获得优秀成果的概率为,且不同课程是否取得优秀成果相互独立.
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成果的概率.
(2)记ξ为该生取得优秀成果的课程门数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
13.(力气挑战题)一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回)，2个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率.
(2)若n=5,求3次摸奖的中奖次数ξ=1的概率及数学期望.
(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P,当n取多少时，P最大?

答案解析
1．【解析】选C．E(X)=(-1)×+0×+1×=,∴①正确;D(X)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,∴②不正确；由分布列知：③正确.
2．【解析】选C．∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，且E(ξ)＝－1×a＋1×c＝c－a＝,
联立三式得a＝， b＝，c＝，
∴D(ξ)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
3．【解析】选C．∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.
又∵E(X)=24,∴24=100p,.
4.【思路点拨】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x1，x2的方程组求解.
【解析】选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：

解得
又∵x1＜x2，∴x1＋x2=3.
5．【解析】选A．依题意，P(－2≤X≤5.5)＝P(X＝0,1,2,3,4,5)＝1－P(X＝6)＝1－＝.
6.【思路点拨】求出四种方案A1，A2，A3，A4盈利的期望，再结合期望作出推断.
【解析】选C.方案A1，A2，A3，A4盈利的期望分别是：
A1:50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2:70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3:－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4:98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.
所以A3盈利的期望值最大,所以应选择A3.
7．【解析】依题意有a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝(m－2)2＋(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
答案：0
8.【解析】1-=.∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
∴p＝.1-=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2×2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝0×+1×＋2×＋3×＝.
答案：
9.【思路点拨】先求出一次试验成功的概率，再依据二项分布求解.
【解析】由题意一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B(10，)，所以E(X)＝.
答案：
10.【解析】D(ξ)＝100p(1－p)≤100·＝25，
当且仅当p＝1－p，即p＝时，D(ξ)最大，为25.
答案： 25
【变式备选】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a，b，c∈(0,1)，且无其他得分状况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为___________.
【解析】依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥，即≤1，∴ab≤.当且仅当3a＝2b时，等式成立．
答案：
11.【解析】(1)由题意可知购买该品牌汽车的顾客中，接受分3期付款的概率为0.2，所以
P(A)＝(1-0.2)3＋×0.2×(1－0.2)2＝0.896.
(2)由＝0.2得a＝20.
∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.
记分期付款的期数为ξ，依题意得：
P(ξ＝1)＝＝0.4，P(ξ＝2)＝＝0.2，P(ξ＝3)＝＝0.2，P(ξ＝4)＝＝0.1，P(ξ＝5)＝＝0.1.
由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)．
P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4,
P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2,
∴η的分布列为：
η
1
1.5
2
P
0.4
0.4
0.2
∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4．
12．【解析】设大事Ai表示：该生语文、数学、英语课程取得优秀成果，i=1,2,3.
由题意可知P(A1)=,P(A2)=m,P(A3)=n.
(1)由于大事“该生至少有1门课程取得优秀成果”与大事“该生3门课程都未获得优秀成果”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成果的概率是
1-P(ξ=0)=
(2)由题意可知,P(ξ=0)=P()=(1-)(1-m)(1-n)=.
P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)=mn=.又m＞n,
解得m=,n=.
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

所以数学期望
E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.
13.【解析】(1)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为大事A，card(A)=.
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为大事B，card(B)=5n,
所以，所求概率.
(2)3次放回式摸奖中“每次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复大事,
当n=5时，获奖次数ξ～B(3,)，
P(ξ=1)=.
E(ξ)==.
(3)ξ～B(n,p)，
,0＜p＜1,
令f(p)=3p3-6p2+3p,由f′(p)=9p2-12p+3=0,得p=;
当p=时f(p)有最大值.
由=，解得n=20.
所以当n=20时，P最大.
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