高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-拓展资料：聚焦复数中的创新题.docx

聚焦复数中的创新题
由于高考强化力气立意，因此创新试题不断毁灭，在复数这一单元也不例外．下面例析复数中创新情景题，以开阔同学们视野和思维．
一、“符号”创新题
例1 我们用符号表示复数cos＋isin，即＝cos＋isin (其中e＝2.718…是自然对数的底数，的单位是弧度)，则①；②；③．其中正确的式子序号是( )
(A) ① (B) ①② (C) ①③ (D) ②③
分析：关键是理解规定符号的含义，实质上就是复数的三角形式，可把每一个式子都化为三角形式，再利用特殊角的三角函数值即可解决．
解：由＝cos＋isin，则
①，故①正确；
②，故②错误；
③，故③正确．
综上所述，其中正确的序号为①、③，故选(C)．
评注：高中课本中虽然对复数的三角形式没有要求，其实它的加法仍可按向量的三角形法则及平行四边形法则进行计算，三角运算时需运用到三角学问，要避开运算出错．
二、“运算”创新题
例2 已知，是复数，定义复数的一种运算“”为：，当，时，＝( )
(A) 5＋2i (B) 1＋2i (C) 9＋7i (D) 1－4i
分析：把握新运算是利用复数的模的大小来定义，可先算出|z1|，|z2|，比较出大小，再利用新运算，得到应是它们的“商”还是“差”，再利用复数的运算法则．
解：由复数模的定义，知|z1|＝，|z2|＝，则|z1|＜|z2|，由新“运算”法则，得＝＝(3－i)－(－2－3i)＝5＋2i，故选(A)．
评注：给出一个新“运算”，让同学自主运用此“运算”法则解题，在各类各级考试中层出不穷，但不会很难，关键是自主学习新定义的力气及理解力气．
三、“推广”创新题
例3 若为非零实数，则下列四个命题都成立：
①； ②；
③若，则； ④若，则．
则对于任意非零复数，上述命题照旧成立的序号是。
分析： 本题是类比推广题，即在实数中成立的命题，哪些是可以推广到复数中，这时需一一验证．对于推断命题不成立，只需举一反例即可．
解： 对于①：解方程，得 a=± i，所以非零复数 a = ± i ，使得，①不成立；对于②明显成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿，所以③不成立；④明显成立。则对于任意非零复数，上述命题照旧成立的全部序号是②④ ，故应填②④．
评注：类比推广题常见有“平面对空间的推广”，“实数向复数的推广”，“等差向等比的推广”等等，通过相像性的类比可以使所学学问产生迁移，这种类比方式在发觉科学奇怪方面要胜于规律推理的作用，通过类比得到猜想后，再进行检验是不难的。
四、“整合”创新题
例4 定义运算＝|ad－bc|，复数z＝x＋yi(x，y∈R，x＞0)，满足条件＝x，则复数z对应的点z(x，y)的轨迹方程为________．
分析：运用新运算法则，将z＝x＋yi代入，得到的模，化简得到x，y的方程，就可写出轨迹方程．
解：由新运算法则，得＝|z－4|＝＝x，故轨迹方程是y2＝8x－16．
评注：本题是通过新运算法则，将复数与解析几何奇异地整合在一起，使平淡的数学问题布满活力与魅力．