高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-高考分类解析：随机变量的期望与方差.docx

高考中随机变量的期望与方差分类解析
纵观2005年高考中的3套全国卷、13套自主命题卷，除上海卷、江苏卷、全国卷（Ⅲ）没有直接涉及随机变量的期望与方差，天津卷只有4分的填空题外，其它12套卷都有不少于12分的大题。这类试题在考查概率的基本学问的基础上,加大了同学对日常生活的基本常识的理解；应用题的背景既源于教材又走近生活、贴近时代，不仅可检测出考生将学问迁移到不怜悯境中的力气，而且可更有效地甄别考生的数学素养。它特殊留意应用数学学问解决实际问题力气的培育，这也充分确定了随机变量的期望与方差在高考中的地位。2005高考中“随机变量的期望与方差”有以下几类：
一、体育竞赛类
这类试题有全国卷（Ⅱ）的排球竞赛类、北京卷的射击竞赛类、福建卷的罚球竞赛类等体育竞赛中的有关问题，背景生疏，一种亲切感油然而生，体现了较好的人文关怀。
例1、（全国卷Ⅱ）甲、乙两队进行一场排球竞赛，依据以往阅历，单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场竞赛接受五局三胜制。即先胜三局的队获胜，竞赛结束。设各局竞赛相互间没有影响。令ξ为本场竞赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）。
二、玩耍类
这类试题有江西卷的掷硬币翻卡片玩耍、浙江卷的摸红白球玩耍、山东卷的摸黑白球玩耍、广东卷的摸乒乓球玩耍等，贴近同学的生活，很适合同学答题的口味。
例2、（江西卷）A,B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行玩耍，当毁灭正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得全部卡片时玩耍终止。设ξ表示玩耍终止时掷硬币的次数。
（1） 求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望Eξ.
三、有奖销售类
本类题与天津卷中的投资获益类试题，都取材于课本该章引言中国庆节在商场外的促销活动获益问题。背景源于课本，又高于课本，是符合考纲的好题。
例3、（重庆卷）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从今10张券中任抽2张，求（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ.
四、产品加工类
例4、（辽宁卷第20题）：题目略。
该题考查相互独立大事的概率，随机变量的分布列及期望，线性规划模型的建立与求解；考查同学通过建立数学模型解决实际问题的力气。它是一道集概率、随机变量、线性规划于一体的综合性较强的试题，解决这类问题需精确知道随机变量所要表达的意义及离散型随机变量每个取值的概率，线性规划模型建立的方法、步骤，是值得同学们引起留意的好题。
五、种子发芽类
例5、（全国卷Ⅰ）9粒种子分别种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑内不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到0.01）。
六、旅游类
例6、（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人巡游这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否巡游哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的确定值。（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）记“函数f(x)=x2－3ξx＋1在区间[2,+∞]上单调递增”为大事A，求大事A的概率。
〖评注〗本题将随机变量的分布列和数学期望等学问与二次函数学问有机地结合起来，留意了“强化理性思维，留意探究创新”的考纲要求，也充分考查了同学的理性思维力气。
七、考取驾照类
例7、（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参与考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参与以后的考试，否则就始终考到第4次为止。假如李明打算参与驾照考试，设他每次参与考试通过的概率为0.6，0.7，0.8，0.9.求在一年内李明参与驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。
我们以例7为例说明解决这类问题的方法、步骤。
步骤：求离散型随机变量的分布列的应用问题应遵循如下三个步骤：首先，明确随机变量的全部可能取值；其次，求出与这些可能取值等价大事的概率；最终，按要求写出分布列，进一步求得数学期望。
点拨：把数学思想应用到实际问题中，并能顺当地提炼出数学模型是这类题的切入点。
解析：ξ可能的取值分别为1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次参与驾照考试就通过了，故P（）=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，其次次通过了，故

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

∴李明实际参与考试次数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
评注：2005年高考中的“随机变量的期望与方差”既重视同学学问、技能的把握，也关注同学在完成试卷过程中所表现出的情感、态度与价值观；既突出考试的甄别与选拔功能，也体现考试的激励和进展功能。