2022届高考数学理新课标A版一轮总复习练习-第6章-不等式、推理与证明-3.docx

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1．[2022·广东]若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)
A．8　　　　　　　　　　　 B．7
C．6 D．5

解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由⇒则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由⇒则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.
答案：C
2．[2022·安徽]x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：方法一：由题中条件画出可行域，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB＞zC或zA＝zC＞zB或zB＝zC＞zA，解得a＝－1或a＝2.

方法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.
答案：D
3．[2022·北京]若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析：作出线性约束条件的可行域．当k>0时，如图(1)所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，明显此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，没有可行域；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k<0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4⇒k＝－.故选D.

图(1)

图(2)
答案：D
4．[2022·山东]已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4
C. D．2
解析：方法一：不等式组表示的平面区域如图所示，依据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2，两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立．

方法二：把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，明显a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即2＝4.
答案：B
5．[2022·浙江]当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是__________．
解析：由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，，(2,1)，都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤.
答案：