2021高中数学北师大版选修1-1学案：《圆锥曲线的综合性问题与应用》.docx

第10课时　圆锥曲线的综合性问题与应用

1.归纳圆锥曲线与其他学问点相结合的综合性问题,如:解三角形、函数、数列、平面对量、不等式、方程等,把握其解题技巧和方法,娴熟运用设而不求与点差法.
2.娴熟把握轨迹问题、探究性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等.

圆锥曲线的综合问题包括:轨迹问题、探究性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等,一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数与方程、不等式、平面对量等诸多学问以及数形结合、分类争辩等多种数学思想方法来进行求解,对考生的代数恒等变形力量、计算力量等有较高的要求.

问题1:判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线　　　　; 
Δ=0⇔直线与圆锥曲线　　　　; 
Δ<0⇔直线与圆锥曲线　　　　. 
若a=0且b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有　　　　个交点. 
问题2:圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　　　. 
问题3:最值问题的代数解法,是从动态角度去争辩解析几何中的数学问题的主要内容,其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中,自变量的　　　　　　由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定. 
问题4:范围问题,主要是依据条件,建立含有参变量的函数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围,运用求函数的　　　　或最值以及一元二次方程实根的分布等学问. 

1.与椭圆x212+y216=1焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是(　　).
A.y2-x23=1　 B.y23-x2=1
C.34x2-38y2=1 D.34y2-38x2=1
2.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是(　　).
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
3.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A,且△F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为　　　　. 
4.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-23),(-2,0),(4,-4),(2,22).求C1,C2的标准方程.

圆锥曲线与三角函数的交汇
已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=15,则方程x2tan α-y2tanα=-1表示　　　　. 

圆锥曲线与数列的交汇
已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点为(0,cn),一条渐近线方程为y=2x,其中{an}是以4为首项的正数数列.
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)求数列{ncn3}的前n项和Sn.

圆锥曲线与向量的交汇
设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且MN=2MP,PM⊥PF.
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),是曲线C上的点,且|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求B点坐标.

已知椭圆x216+y29=1及以下3个函数:①f(x)=x;②f(x)=sinx;③f(x)=cosx.其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数为(　　).
A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.0

设F1是椭圆x24+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则PF1·PO的最大值为　　　　. 

设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且MP0=32PP0.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
①若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
②若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线l过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.

1.已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点.若|PF1|2|PF2|=8a,则双曲线的离心率的取值范围是(　　).
A.(1,2]　　 B.[2,+∞) C.(1,3] D.[3,+∞)
2.一个椭圆的长轴的长度,短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率为(　　).
A.5-12　　　 B. 5+12　　　 C.22　　　 D.2-12
3.已知点A(-2,0),点B(2,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k∈　　　　. 
4.k代表实数,争辩方程:kx2+2y2-8=0所表示的曲线.

(2021年·浙江卷)如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在其次、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　).

　　A.2 B.3 C.32 D.62
　　考题变式(我来改编):

第10课时　圆锥曲线的综合性问题与应用
学问体系梳理
问题1:相交　相切　相离　一
问题2:1+k2|x1-x2|　1+1k2|y1-y2|
问题3:取值范围
问题4:值域
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1.A　设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),
则a2+b2=c2,ca=2,c=2,得a=1,b=3.
故双曲线方程为y2-x23=1.
2.A　由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.
3.

32　如图,依据题意可知
|AF2|=a,|OF2|=c,∠OAF2=60°,
∴e=|OF2||AF2|=sin∠OAF2=sin 60°=32.
4.解:设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有y2x=2p(x≠0),
据此验证4个点知(3,-23),(4,-4)在抛物线上,易求C2:y2=4x.
设C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),把点(-2,0),(2,22)代入得:
4a2=1,2a2+12b2=1,解得a2=4,b2=1,∴C1方程为x24+y2=1.
重点难点探究
探究一:【解析】由sin α+cos α=15及sin2α+cos2α=1,且0<α<π,解得sin α=45,cos α=-35,tan α=-43,因此x2tan α-y2tanα=-1就是4x23-3y24=1,表示焦点在x轴上的双曲线.
【答案】焦点在x轴上的双曲线4x23-3y24=1
【小结】本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sin α与cos α的值,以及会依据圆锥曲线方程识别曲线的类型.
　　探究二:【解析】(1)∵双曲线方程y2an-x2an-1=1的焦点为(0,cn),
∴cn=an+an-1,
又∵一条渐近线方程为y=2x,即anan-1=2,∴anan-1=2,又a1=4,
∴an=4·2n-1=2n+1,即cn=2n+1+2n=3·2n.
(2)∵ncn3=n·2n,∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
由①-②得-Sn=2+22+…+2n-n·2n+1,
∴Sn=-2(1-2n)1-2+n·2n+1=(n-1)·2n+1+2.
【小结】本题主要考查双曲线的几何性质,等比数列的定义和通项公式及错位相减法求和,同时考查转化思想及处理综合试题的力量.本题是一道圆锥曲线与数列相结合的综合题,但难度并不大.解答本题留意两点基本学问及方法的应用:(1)通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式;(2)利用错位相减法求和.
　　探究三:【解析】(1)设N(x,y),则由MN=2MP,得P为MN的中点,所以M(-x,0),P(0,y2).
则PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2),则由PM⊥PF,得PM·PF=0,y2=4x(x≠0).
(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点P0(x0,y0)到F的距离等于其到准线的距离,即|P0F|=x0+p2,
所以|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|DF|=x3+p2,
依据|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,得x1+x3=2x2,
直线AD的斜率为y3-y1x3-x1=y3-y1y324-y124=4y1+y3,
所以AD中垂线方程为y=-y1+y34(x-3),
又AD的中点(x1+x32,y1+y32)在直线上,代入上式得x1+x32=1,即x2=1,所以点B的坐标为(1,±2).
【小结】本题主要考查向量的坐标运算及垂直的充要条件、轨迹的直接求法、抛物线的定义及中点坐标公式,同时考查方程的思想、转化的思想、整体思想以及规律推理力量、解题实践力量和数学思想方法应用力量.本题解答有两个关键:(1)对条件中的向量关系进行转化;(2)抛物线焦半径的应用;(3)确定直线AD的斜率k.
思维拓展应用
应用一:B　要使函数y=f(x)的图像能等分该椭圆的面积,则f(x)的图像应当关于椭圆的中心O对称,即f(x)为奇函数,①和②均满足条件.
　　应用二:4+23　设P(x0,y0),依题意可得F1(-3,0),则PF1·PO=x02+y02+3x0=x02+1-x024+3x0=3x024+3x0+1=34(x0+233)2.
又-2≤x0≤2,所以当x0=2时,PF1·PO取得最大值4+23.
　　应用三:(1)设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).
由MP0=(x0-x,-y),PP0=(0,-y0),
且MP0=32PP0,
得(x0-x,-y)=32(0,-y0).
∴x0-x=0,-y=-32y0,∴x0=x,y0=23y.
又x02+y02=4,∴x2+43y2=4.
∴点M的轨迹C的方程为x24+y23=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立y=kx+m,x24+y23=1,
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.
∴Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,
即3+4k2-m2>0.(*)
且x1+x2=-8mk3+4k2,x1x2=4(m2-3)3+4k2.
①依题意,k2=y1y2x1x2,
即k2=kx1+mx1·kx2+mx2.
∴x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
∴km(x1+x2)+m2=0,
即km(-8mk3+4k2)+m2=0.
∵m≠0,∴k(-8k3+4k2)+1=0,
解得k2=34.
将k2=34代入(*),得m2<6.
∴m的取值范围是(-6,0)∪(0,6).
②证明:曲线x24+y23=1与x轴正半轴的交点为Q(2,0).
依题意,AQ⊥BQ,即AQ·BQ=0.
于是(2-x1,-y1)·(2-x2,-y2)=0.
∴x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)·(kx2+m)=0,
∴(k2+1)·4(m2-3)3+4k2+(km-2)·(-8mk3+4k2)+4+m2=0.化简,得7m2+16mk+4k2=0.
解得,m=-2k或m=-2k7,且均满足3+4k2-m2>0.
当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0)(舍去);
当m=-2k7时,直线l的方程为y=k(x-27),直线过定点(27,0).
∴直线l过定点(27,0).
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1.C　设|PF2|=y,则(y+2a)2=8ay⇒(y-2a)2=0⇒y=2a≥c-a⇒e=ca≤3.
2.A　不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0),则长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,依据题意得(2b)2=2a·2c,即b2=ac,又b2=a2-c2,即a2-c2=ac,即c2+ac-a2=0,两边同除以a2得e2+e-1=0,解得e=-1±52,又0<e<1,故e=5-12,故选A.
3.(-∞,-1)∪(1,+∞)　由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=2,则b=c2-a2=1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x>0),其渐近线方程为y=±x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
4.解:当k<0时,曲线y24-x2-8k=1为焦点在y轴上的双曲线;
当k=0时,曲线2y2-8=0为两条平行的垂直于y轴的直线;
当0<k<2时,曲线x28k+y24=1为焦点在x轴上的椭圆;
当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆;
当k>2时,曲线y24+x28k=1为焦点在y轴上的椭圆.
全新视角拓展
D　设|AF1|=m,|AF2|=n,则有m+n=4,m2+n2=12,∴12+2mn=16,∴mn=2.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,则(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8,∴双曲线的a=2,c=3,则有e=32=62.
思维导图构建
判别式　代数