《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1章末综合检测-.docx

一、选择题
1.在△ABC中,A=75°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】由题意知B=45°,依据正弦定理:b==.
【答案】B
2.在△ABC中,若sin C=2cos Asin B,则此三角形是(　　).
A.等腰三角形 B.正三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
　　【解析】∵sin C=2cos Asin B,
∴c=2bcos A=2b×=,
∴b=a.
【答案】A
3.在△ABC中,若a=2bsin A,则B为(　　).
A. B.
C.或 D.或
【解析】依据正弦定理得:sin A=2sin Bsin A,∴sin B=.
【答案】C
4.满足A=45°,c=,a=2的△ABC的个数记为m,则am的值为(　　).
A.4　 B.2　　 C.1 D.不定
【解析】∵csin A<a<c,∴三角形有两解,故m=2,
∴am=4.
【答案】A
5.若满足条件AB=,BC=m,C=的△ABC有两个,则常数m的取值范围是(　　).
A.(1,2) B.(,)
C.(,2) D.(,2)
【解析】若满足条件的三角形有两个,
则BCsin C<AB<BC,即:m<<m.
解得<m<2.
【答案】D
6.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,假如2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,那么b为(　　).
A.1+ B.3+
C. D.2+
【解析】∵acsin B=,∴ac=2,
又2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,b=.
【答案】C
7.在△ABC中,已知A=45°,B=60°,c=4,则三角形的面积为(　　).
A. B.3+ C.3 D.12-4
【解析】由A+B+C=180°,得C=75°.
由正弦定理,得=,
∴a=4(-1),∴S=acsin B=12-4 .
【答案】D　
8.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2-c2=2b,且sin B=4cos Asin C,则b的值为(　　).
A.4 B.8 C.6 D.10
【解析】由余弦定理得a2-c2=b2-2bccos A,
∵a2-c2=2b,b≠0,∴b2-2bccos A=2b,即b=2ccos A+2.
由sin B=4cos Asin C得2cos A==,
∴b=+2,即b=4.
【答案】A　
9.在△ABC中,已知2B=A+C,b2=ac,则B-A等于(　　).
A.0 B. C. D.
【解析】由题意知:B=,b2=a2+c2-2accos ,所以a2+c2-ac=ac,故a=c,所以△ABC为正三角形,所以B-A=0.
【答案】A

10.如图,地面有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面取一基线AB,测得AB=200 m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为(　　).
A.200 B.
C. D.400
【解析】依据题意,OA=h,OB=h,在△ABO中,依据余弦定理得:
(h)2+h2-2h·hcos 60°=2002,解得:h=.
【答案】C
11.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于(　　).
A. B.
C. D.
【解析】设AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即7=c2+4-2×2×c×cos 60°,c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0.又c>0,∴c=3,
则BC边上的高为c·sin B=3×=.
【答案】B　
12.在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,则这个三角形是(　　).
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】依据正、余弦定理,原式可以化简为ab-bc×=ab-ac×,整理得:=,解得:a4-b4+c2(b2-a2)=0,整理得:(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或者a2+b2=c2,故为等腰或直角三角形.
【答案】C
二、填空题
13.在亚丁湾某海疆有一执行任务的甲军舰获悉,其正东方向距离20海里处,有一艘货轮遇海盗攻击等待营救,甲舰南偏西30°距离10海里处有一艘乙舰,甲、乙两舰共同实施救援行动,此时乙舰与货轮的距离是　　　　海里. 
【解析】依据余弦定理得:d==10 .
【答案】10 　
14.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=　　　　. 
【解析】由余弦定理得,cos B===-,解得b=4.
【答案】4
15.已知△ABC的两条边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆半径为　　　　. 
【解析】不妨令a=2,b=3,cos C=,
∴c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×=9,
∴c=3.
又sin C==,
∴2R===,∴R=.
【答案】
16.在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AC=2AB=2AD=4,则BD=　　　　. 

【解析】如图所示,设BD=DC=x,由于∠ADB+∠ADC=180°,所以cos∠ADB=-cos∠ADC.又AC=2AB=2AD=4,由余弦定理得=-,解得x=(x=-舍去),故BD=.
【答案】
三、解答题
17.在△ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(-sin A,cos A),若|m+n|=2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=4,c=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)|m+n|2=(cos A+-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+2(cos A-sin A)=4+4cos(+A),
∴4+4cos(+A)=4,∴cos(+A)=0.
∵A∈(0,π),∴+A=,∴A=.
(2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A,
即a2=(4)2+(2)2-2×4×2cos,
解得a=4,∴c=4,∴S△ABC=×4×4×=8.
18.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
【解析】(1)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得
sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.
由于B=π-A-C,
所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
由于sin C≠0,所以sin(A-)=.
又0<A<π,故A=.
(2)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8,解得b=c=2.
19.在△ABC中,若=,试推断三角形的外形.
【解析】由已知==,∴=.以下可有两种解法.
(法一)(利用正弦定理边化角):
由正弦定理得=,∴=,
即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,
∵B,C均为△ABC的内角,
∴2C=2B或2C+2B=180°,
∴B=C或B+C=90°,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(法二)(利用余弦定理角化边):
∵=,再由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2),
∴a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0,
∴a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,
即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,
∴b2=c2或a2-b2-c2=0,
即b=c或a2=b2+c2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
20.已知△ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A.
(1)求边长a的值;
(2)若S△ABC=3sin A,求cos A的值.
【解析】(1)依据正弦定理,sin B+sin C=sin A可化为b+c=a.
联立方程组解得a=4.
(2)∵S△ABC=3sin A,∴bcsin A=3sin A,∴bc=6.
又由(1)可知,b+c=4,
由余弦定理得cos A===.
21.设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,其外接圆的半径为1,且(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C-sin A)=3sin B sin C,b、c是方程x2-3x+4cos A=0的两根(b>c).求角A的度数以及a,b,c的大小.
【解析】由韦达定理b+c=3,b·c=4cos A,
由正弦定理b=2Rsin B=2sin B,c=2Rsin C=2sin C,
∴2(sin B+sin C)=3,sin B·sin C=cos A.
将等式(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C利用平方差公式开放为(sin B+sin C)2-sin2A=3sin Bsin C,
把sin B+sin C=,sin B·sin C=cos A代入上式可得:-sin2A=3cos A.
整理得:4cos2A-12cos A+5=0,
即(2cos A-5)(2cos A-1)=0,
∴cos A=或cos A=(舍去),
∴A=60°,∴∵b>c,∴b=2,c=1,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A=3,∴a=.

22.某广场有一块不规章的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建筑一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座外形分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.
(1)求AB的长度;
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建筑费用最低(请说明理由),最低造价为多少?(=1.414,=1.732)
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理得
cos C==,　①
在△ABD中,由余弦定理得
cos D==,　②
由∠C=∠D得cos C=cos D,
解得AB=7,所以AB的长度为7米.
(2)易知S△ABD=AD·BDsin D,S△ABC=AC·BCsin C,
由于AD·BD>AC·BC,且∠C=∠D,所以S△ABD>S△ABC.
故选择小李的设计将使建筑费用较低.
由于cos C=,所以sin C=,
故S△ABC=AC·BCsin C=10,
所以所求的最低造价为5000×10=50000≈86600元.