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四年级整除特征进阶主要内容及解题思路

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四年级整除特征进阶主要内容及解题思路
一、判断（三个家族）
1、 尾系（2，4，8，5，25，125）
n 能被2，5整数，看末1位
n 能被4，25整数，看末2位
n 能被8，125整除，看末3位
2、 和系（3，9，99）
n 各个位数之和可以被3,9整除
n 个位开始两位两位分，把新得到的数相加，若它们的和能被99整除，这个数就可以被99整除
3、 差系（7，11，13）
n 一个数从末位开始，每三位一段断开，若奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11、13 的倍数，则这个数能被7、11、13 整除；如果差不是7、11、13 的倍数，那么这个差被7、11、13 除余几，这个数除以7、11、13 就余几。
如：1121876能否被7、11、13 整除？
　　每三位一段进行分段：1-121-876，奇数段之和为：876+1=877； 偶数段之和为：121；奇数段之和与偶数段之和的差为：877-121=756
　　用这个差除以7、11、13：756÷7=108， 756÷11=68....8， 756÷13=58...2
故1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。

二、 组合数（先尾系，再和系）
15=3×5
6=2×3
三、 试除法（末几位）
1、 添9试除，最后减余数
2、 添0试除，最后加补数
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例题：
1、判断下列书哪些能被7整除？被8整除？被9整除？被11整除？被13整除？这些数除以9的余数分别是多少？除以11的余数分别是多少？
6741 5232 5868 585 7579 2992 2009
解：以6741为例说明
6741可以分割为 6 741，则741-6=735；
被7：差系判断735÷7=105 ok
被8：尾系判断741÷8=92...5 no
被9：和系判断6+7+4+1=18 ok
被11：差系判断 735÷11=66...9 no
被13：差系判断 735÷13=56...79 no
这道题的解算最终结果：
被7：6741 2009
被8：5232 2992
被9：6741 5868 585
被11：7579 2992
被13：585 7579
除以9的余数：0 3 0 0 1 4 2
除以11的余数：9 7 7 2 0 0 7
2、943口口14能被99整除，空格里的数字分别是多少？
解题思路：99属于和系，因此应该从个位开始，每两位为一组，各组相加的和为99的倍数。倍数从1开始，依次试验。
第一步：原数每两位为一组9 43 口口 14
第二步：99的1倍：9+43+口口+14=99
66+口口=99
口口=33
第三步：99的2倍：66+口口=198 口口为三位数，不合题意。
第四步：口口为33
3、9ab9ab9ab9ab9ab是77的倍数，则ab为多少？
解题思路：77可以分解为7×11，转化为差系问题，也就是需要将9ab9ab9ab9ab9ab每三位一段断开，然后将奇数段之和与偶数段之和的差是7 、11的倍数，则为所求问题。
第一步：分解9ab 9ab 9ab 9ab 9ab，相减为9ab；
第二步：用试除法解决问题。
方法1：将9ab从最大的数999开始，除以77，如果有余数，则减去余数为所求解。
999÷77=12...75
999-75=924；
ab=24
方法2：强9ab从最小的数900开始，除以77，如果有余数，则加上补数（77-余数）为所求解。
900÷77=11...53
77-53=24 补数
900+24=924；
ab=24；
4、1111ab能被31整除，ab有几种可能，分别是多少？
解题思路：用试除法解题，假设ab为最大，99；求得的结果依次减去31，分别求解。
第一步：111199÷31=3587...2
111199-2=111197
ab=97
第二步：ab=97-31=66
第三步：ab=66-31=35
第四步：ab=35-31=04
第五步：ab的可能有四种，分别为：97,66,35,04
5、 一个5位数5口42口能被18整除，且前后空格数字相差1，那么这个五位数是多少？
解题思路：18=2×9，2属于尾系，9属于和系，应采用先尾系后和系的方式解题。
第一步，先采用尾系的规律，当位数分别为0,2,4,6,8时，5位数的各个位数之和是9的倍数。
第二步：
5+口+4+2+0=11+7 7-0=7 no
5+口+4+2+2=13+5 5-2=3 no
5+口+4+2+4=15+3 4-3=1 ok
5+口+4+2+6=17+1 6-1=5 no
5+口+4+2+8=19+8 8-8=0 no
第三步：所求的数位53424。

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