第五章-习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数教学文案.doc
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1、第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)-高等代数精品资料习题5.11. (1) 若A2 = E,证明A的特征值为1或1;(2) 若A2 = A,证明A的特征值为0或1.证明(1)(2)2. 若正交矩阵有实特征值,证明它的实特征值为1或 1.证明3求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.解所以:特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,0)T + k2(0,1,0)T + kn(0,0,1)T ,(k1, k2, , kn不全为0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.(1) (2)(3)(4)解(1)A属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ,(k0)A属于特征值2的
2、全部特征向量为k(1,2,1)T,(k0)解(2)将其代入,求得特征向量:,不全为零 解(3)代入,求得特征向量:A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ,(k0);A属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ,(k0);A属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ,(k0)解(4)特征值为-1,-1,-1;A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ,(k0)解(5)设为的任一特征值,的属于的特征向量为:,则 于是 而故 =0,因为特征向量,所以 ,即矩阵的所有特征值为0. 解得基础解系:特征值为0(n重);A属于n重特征值0的全部特征向量为:k1+
3、k2+ + kn1( k1,k2,kn1不全为零)解 (1)(2)6. 已知12是矩阵的一个特征值,求a的值.解7. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量.求k及X所对应的特征值.解 习题5.21. 判断习题7.1第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似,求出相似变换矩阵与对角矩阵.1)2)二重根有两个线性无关的特征向量,可以对角化.相似变换矩阵为 对角阵为3)矩阵有三个互异的特征值,故可以对角化. 对角阵为4)不能对角化.5),所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似,若相似,求出可逆矩阵P,使为对角阵.(1) (2)解 (1) 代入解得对应的特征向量分别为:所以:可逆矩阵 解
4、(2)3设A是一个3阶矩阵,已知A的特征值为1,1,0,A属于这3个特征值的特征向量分别为求A.解 A有三个互异的特征值,所以可以对角化.4计算解 ,5设 A与B相似.(1) 求a,b的值;(2) 求可逆矩阵P,使=B.解 1)A与B相似,故A与B有相同的特征多项式,即: (2)最后解得可逆矩阵使得6. 设A =与对角阵相似,求x,y满足的条件.解由于与对角矩阵相似,7设A与B相似,f(x)= a0xn + a1xn1 + + an1x + an(a0 0),证明 f(A)与 f(B)相似证明故f(A)与 f(B)相似8若A与B相似,C与D相似,证明 与 相似.证明习题5.31求正交矩阵Q,使
5、为对角阵.(1) (2)解 (1)先求特征值和特征向量解得特征向量:于是构成正交矩阵 ,解(2)先求特征值和特征向量单位化于是构成正交矩阵 2已知 = 6,= 3是实对称矩阵A的三个特征值,A的属于 = 3的特征向量为X2 = , X3 = ,求A的属于= 6的特征向量及矩阵A 解 令的属于的特征向量为:且A的属于的特征向量为:解 (1)的另一特征值为0,令其相应的特征向量为,满足习题五(A)一、填空题1已知3阶矩阵A的特征值为1,3,-2,则A-E的特征值为 , 的特征值为 的特征值为 .解 A-E的特征值为A的特征值减1,故A-E的特征值为0,2,-3.的特征值为2n阶矩阵A的特征值为1,
6、2 ,3 , ,n ,则 .解3. 已知3阶矩阵A的特征值为1,3,5,则= .解4. 设A为3阶方阵,且,则= , = ,= .解由题意知:5若3阶方阵A与B相似,A的特征值为,则= . 解6已知3阶矩阵A-1的特征值为1,2,3,则的特征值为 . 解7. 已知矩阵的特征值为1,2,3,则x= .解8. 已知3阶矩阵A的特征值为1,3,2,则的特征值为 .解9. 设A,B均为3阶方阵,A 的特征值为1,2,3,= 1,则= . 解10. 设 有相同的特征值,则a= , b = .解有相同的特征值,即11. 已知矩阵A的各行元素之和为2,则A有一个特征值为 .解显然A有一个特征值为212已知0
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