伯努利方程的应用教学文案.doc
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1、伯努利方程的应用精品文档,伯努利方程及其应用伯努利,1738,瑞士。动能与压强势能相互转换。沿流线的伯努利方程将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元,沿流线切线方向整理后因为将流体元的加速度转换成欧拉形式的加速度,沿流线的质点导数为则导出此式为一维欧拉方程,使用下述关系将方程沿流线积分。两边乘以ds得:沿流线积分此式为欧拉方程的积分式,适合于可压、无粘不定常运动。对于不可压定常流动,则可简化为此式为伯努利方程,三项分别表示单位质量流体具有的动能、位置势能和压强势能。即总机械能守恒。应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。伯努利方程使用的限制条件(1)无粘性流体,(2)不可压流
2、体(3)定常流(4)沿流线。加入能量损失就可适应粘性流体。皮托(pitot)测速管:总压强与动压强皮托测速管又称为皮托-静压管,简称皮托管,为纪念法国人皮托命名。皮托测速管由粗细两根同轴的圆管组成,细管(直径约为1.5 mm)前端开孔(O点),粗管(直径约为mm)在距前端适当长距离处的侧壁上开数个小孔(B点),在孔后足够长距离处两管弯成柄状测速时管轴线沿来流方向放置设正前方的流速保持为,静压强为,流体密度为。粗细两管中的压强被引入形测压计中,形管中液体密度。试求用形管液位差表示流速的关系式。解:设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。从皮托管正前方点到端点再到侧壁孔点的线是一条流线,点的速度
3、和压强分别为和,沿流线段按()式列伯努利方程+在皮托管端点,流体速度降至零,称为驻点,称为驻点压强,形管右支管测到的即是驻点压强由于,由(a)式可得上式中称为动压强,为流体质点的动能全部转化为压强势能时应具有的压强(b) 式表明驻点压强为静压强和动压强之和,故称为总压强由(b)式动压强可表为 由于皮托管较细,流线上的两点的位置差可忽略,伯努利方程为因,由上式,即形管左支通过皮托管侧壁小孔测到的是当地静压强在形管内列压强关系式可得由于实际流体具有粘性及皮托管加工误差等原因,流体动压强转化为形管内液位差读数存在误差,需乘上一个修正系数,由(c),(d)式可得称为皮托管系数,可通过用标准皮托管作标定
4、测量后确定由(e)式可得小孔出流:托里拆利公式及缩颈效应从一个大容器侧壁下部距离液面为h处开一个小孔,设液面水位不变,求出流速度和出流流量。解:=沿流线法向方向的速度压强关系式由牛顿第二定律:得考虑到几何关系,有整理,得忽略重力,得若密度为常数,则有此式为沿流线法向方向的伯努利方程,应用条件为(1)无粘性流体,(2)不可压流体(3)定常流(4)沿流线法向。如果流线位直线时,曲率半径为无限大,则此式与静压力公式相同。沿总流的伯努利方程将伯努利方程三项机械能在有效截面A上按质量流量积分,总机械能沿流束仍保持守恒,即以截面平均流速V代替不均匀的速度分布,引入动能修正因子。有考虑到质量守恒,得对于一个
5、缓变流的两个截面,有例题:Venturi管:沿总流的伯努利方程应用连续性方程伯努利方程的意义不可压缩粘性流体内流管道入口流动示意图,设管直径为d,管口外均流速度为U。从 开始,流体在壁面上被滞止,形成边界层。边界层外仍保持为均流,称为核心流。由壁面不滑移条件引起壁面附近的流速降低,为满足质量守恒定律,核心流流速增大,速度廓线由平坦逐渐变为凸出。随着边界层厚度不断增长,核心流不断加速,直至 处四周的边界层相遇,核心流消失,整个管腔被边界层流动充满,此后速度廓线不再变化。称 为入口段流动或发展中流动的速度廓线,均可通过求解N-S方程获得。入口段的压强损失,可利用动量方程求解。由例B4.4.1D推导
6、得管道入口段压强损失系数为 式中p0,pL 分别为x=0和x=L 处的压强。 称为达西摩擦因子,它是管道形状,雷诺数 和管壁粗糙度的函数,在充分发展定常流动中 为常数(将在C3.6中详细讨论)。(C3.2.1)式中的项为入口段中相应于充分发展段中的压强损失。K为入口段中特有的附加压强损失,它由两部分组成:将均流加速成充分发展流动所需要的压强系数;由于入口段壁面速度廓线陡峭,壁面切应力大于充分发展段的壁面切应力,为克服这部分阻力差值所需要增加的压强系数。入口段和充分发展段的压强损失系数曲线如图C3.2.1b(分别为实线和虚线)所示。入口段附加压强损失K是入口段长度L,雷诺数及管道形状因子的函数,
7、可运用有限差分法求解N-S方程获得。根据计算的K值可估算入口段的长度L。圆管入口段长度与直径的比值的典型公式为层流, 湍流对层流,最大的入口段长度为LMax=0.062300d=138d, (Re=2300)对湍流,由于边界层厚度增加较快,入口段长度比层流短的多Lt= (2040)d, (Re=104106)在实际的工程长管线中,如口段长度所占的比例往往是微不足道的,因此除特殊要求为其通常不予考虑,全长均按充分发展流动处理,但对一些较短的管道,则应该考虑入口段影响。平行平板间的层流流动是N-S方程具有解析解的典型例子之一,包括固定平板间的压差流,平板间作相对平移运动的剪切流及两种流动同时存在的
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