北师大版-八年级下-因式分解、分式与分式方程知识点(上传版)教学文案.doc
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北师大版 八年级下 因式分解、分式与分式方程知识点(上传版) 精品文档 因式分解 一、 基本概念 因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法互为逆变形: 式中可以代表单项式,也可以代表多项式,它是多项式中各项都含有的因式,称为公因式. 因式分解的常用方法: 提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法. 分解因式的一般步骤: 如果多项式的各项有公因式,应先提公因式;如果各项没有公因式,再看能否直接运用公式或十字相乘法,如还不能,就试用分组分解法或其它方法. 注意事项:①若不特别说明,分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止; ②结果一定是乘积的形式; ③每一个因式都是整式; ④相同的因式的积要写成幂的形式. 在分解因式时,结果的形式要求: ①没有大括号和中括号; ②每个因式中不能含有同类项,如果有需要合并的同类项,合并后要注意能否再分解; ③单项式因式写在多项式因式的前面; ④每个因式第一项系数一般不为负数; ⑤形式相同的因式写成幂的形式. 二、 提公因式法 提取公因式:如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法: 系数——取多项式各项系数的最大公约数; 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 三、 公式法 平方差公式: ①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反; ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式; ③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式: ①左边相当于一个二次三项式; ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式; ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负; ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式: 四、 十字相乘法 十字相乘法:一个二次三项式,若可以分解,则一定可以写成的形式,它的系数可以写成,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数a,b,c,使得:,,,. 若不是一个平方数,那么二次三项式就不能在有理数范围内分解. 五、 分组分解 分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法. 分式与分式方程 一、 分式的基本概念 当两个整数不能整除时,出现了分数;类似的当两个整式不能整除时,就出现了分式. 一般地,如果,表示两个整式,并且中含有字母,那么式子叫做分式. 整式与分式统称为有理式. 在理解分式的概念时,注意以下三点: ①分式的分母中必然含有字母; ②分式的分母的值不为0; ③分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开. 二、 分式有意义的条件 两个整式相除,除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0,当分母为0时,分式无意义. 如:分式,当时,分式有意义;当时,分式无意义. 三、 分式的值为零 分式的值为零时,必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零,注意是“同时”. 四、 分式的基本性质 分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 上述性质用公式可表示为:,(). 注意:①在运用分式的基本性质时,基于的前提是; ②强调“同时”,分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式; ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 五、 分式的乘除 分式的乘法:. 分式的除法:. 六、 分式的乘方 分式的乘方:(为正整数). 整数指数幂运算性质: ①(、为整数); ②(、为整数); ③(为整数); ④(,、为整数). 负整指数幂:一般地,当是正整数时,(),即()是的倒数. 七、 分式的加减运算法则 同分母分式相加减:分母不变,把分子相加减,. 异分母分式相加减:先通分,变为同分母的分式再加减,. 最简公分母:确定最简公分母的一般步骤: ①取各分母系数的最小公倍数; ②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后,还要确定分子、分母应乘的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商. 八、 分式的混合运算的运算顺序 先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在. 九、 分式方程及其求解 分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程求解步骤: ①方程左右两边时乘最简公分母,化为整式方程; ②解整式方程,得到具体的值; ③检验,将值代入最简公分母,若最简公分母为零,此值为增根;否则为方程的根. 增根产生的原因:分式分母不能为零,而分式方程转化为整式方程后,最简公分母为零可能使方程成立. 十、 分式方程应用题 分式方程应用题步骤:析、设、列、解、验. 分式方程应用题验根:既要检验方程的根是否是增根,还应考虑题目中的实际意义. 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除- 配套讲稿:
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