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岭回归分析

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岭回归分析
一、普通最小二乘估计带来的问题
当设计矩阵X呈病态时,X的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性,在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即很大，就很不稳定,在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。下面看一个例子,可以说明这一点。
假设已知,与y的关系服从线性回归模型:,给定,的10个值,如下表1，2行所示：

然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项,见表第3行。然后再由回归模型计算出10个值,见表第4行。现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：=11.292, =11.307,=-6.591,而原模型的参数=10,=2,=3看来相差太大。计算，的样本相关系数得=0.986,表明与之间高度相关。通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。
二、岭回归的定义
当自变量间存在多重共线性,||0时，设想给加上一个正常数矩阵(k>0)那么+接近奇异的程度就会比接近奇异的程度小得多。考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X表示，定义称为的岭回归估计，其中，k称为岭参数。由于假设X已经标准化，所以就是自变量样本相关阵。y可以标准化也可以未标准化，如果y也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。作为的估计应比最小二乘估计稳定，当k=0时的岭回归估计就是普通的最小二乘估计。因为岭参数k不是唯一确定的，所以得到的岭回归估计实际是回归参数的一个估计族。
三、岭回归估计的性质
性质1，是回归参数的有偏估计。
证明：显然只有当k=0时，；当k0时，是的有偏估计。
性质2，在认为岭参数k是与y无关的常数时，=是最小二乘估计的一个线性变换。也是的线性函数。
证明：
性质3，对任意k>0，，总有。
这里是向量的模，等于向量各分量的平方和。这个性质表明看看成由进行某种向原点的压缩。从的表达式可以看到，当k时，0，即化为零向量。
性质4，以MSE表示估计向量的均方误差，则存在k>0，使得。
四、岭迹分析
当岭参数k在（0，）内变化时，是k的函数，在平面坐标系上把函数描画出来，画出的曲线称为岭迹。

在图a中，=>0，且比较大。从古典回归分析的观点看，应将看作是对y有重要影响的因素。但的图形显示出相当的不稳定，当k从零开始略增加时， 显著地下降，而且迅速趋于零，因而失去预测能力。从岭回归的观点看，对y不起重要作用，甚至可以去掉这个变量。
在图b中，=>0，但很接近0。从古典回归分析看，对y的作用不大。但随着k略增加，骤然变为负值，从岭回归观点看，对y有显著影响。
在图c中，=>0，说明还比较显著，但当k增加时，迅速下降，且稳定为负值，从古典回归分析看对y有正影响的显著因素，而从岭回归分析角度看，要被看作是对y有负影响的因素。
在图d中，和都很不稳定，但其和却大体上稳定。这种情况往往发生在自变量和的相关性很大的场合，即和之间存在多重共线性的情形。因此，从变量选择的观点看，两者只要保存一个就够了。这种情况可用来解释某些回归系数估计的符号不合理的情形，从实际观点看，和不应该有相反符号。岭回归分析的结果对这一点提供了解释。
从全局考虑，岭迹分析可用来估计在某一具体实例中最小二乘估计是否适用，把所有回归系数的岭迹都描在一张图上，如果这些岭迹线“不稳定度”很大，整个系统呈现比较“乱”的局面，往往就会怀疑最小二乘估计是否很好地反映了真实情况。如图e那样。如果情况如图f那样，则对最小二乘估计可以有更大的信心。
五、岭参数k的选择
岭参数选择的目的是要选择使MSE（）达到最小的k，最优k值依赖于未知参数和。
1、岭迹法
岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之外，如估计值以及正负号不符合经济意义，希望能通过采用适当的岭估计来加以一定程度的改善，岭参数k值的选择就是尤为重要。选择k值的一般原则是：
（1）各回归系数的岭估计基本稳定；
（2）用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理。
（3）回归系数没有不合乎经济意义的绝对值；
（4）残差平方和增大不太多。
岭迹法与传统的基于残差方法相比，在概念上来说是完全不同的，岭迹法对于分析各变量之间的作用和关系是有帮助的。
2、方差扩大因子法
应用方差扩大因子法选择k的经验做法是：选择k使所有方差扩大因子，当时，所对应的k值的岭估计就会相对稳定。
3、由残差平方和来确定k值
岭估计在减小均方误差的同时增大了残差平方和，我们希望岭回归的残差平方和的增加幅度控制在一定的限度以内，从而可以给定一个大于1的c值，要求,寻找使该式成立的最大的k值。
六、用岭回归选择变量
岭回归选择变量的原则：
1、在岭回归的计算中，假定设计矩阵X已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量。
2、当k值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不是很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋于零，像这样岭回归系数不稳定，震动趋于零的自变量可以予以剔除。
3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉哪几个，这并无一般原则可循，这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。
七、实例分析——用岭回归选择变量
例1：空气污染问题，研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素的关系。考虑了15个解释变量，收集了60组样本数据。
x1— 平均年降雨量；x2—1月份平均气温；x3—7月份平均气温
x4— 年龄65岁以上的人口占总人口的百分比；x5—每家人口数
x6— 年龄在22岁以上的人受教育年限的中位数
x7—住房符合标准的家庭比例数；x8—每平方公里人口数
x9—非白种人占总人口的比例；x10—白领阶层人口比例
x11— 收入在3000美元以下的家庭比例；x12—碳氢化合物的相对污染势
x13—氮氧化合物的相对污染势；x14—二氧化硫的相对污染势
x15—年平均相对湿度；y—每十万人中的死亡人数
这个问题收集了60组样本数据。根据样本数据，计算的15个特征根为：
4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227
0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163
0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049
后面两个特征根很快接近零，由条件数可知：=30.396，说明设计矩阵X含较严重的多重共线性。
进行岭迹分析，把15个回归系数的岭迹绘成下图，从图中看到，当k=0.2时，岭迹大体上达到稳定。按照岭迹法，应取k=0.2。若用方差扩大因子法，当k在0.02~0.08时，方差扩大因子小于10，故应在此范围选取k，由此可以看到不同的方法选取的k值是不同的。

在用岭回归进行变量选择时，因为从岭迹看到自变量x4,x7,x10,x11和x15有较稳定且绝对值较小的岭回归系数，根据变量选择的第一条原则，这些自变量可以去掉。又因为，自变量x12和x13的岭回归系数很不稳定，且随着k的增加很快趋于零，根据上面的第二条原则这些自变量也应该去掉。还可根据第三条原则去掉变量x3,x5。这个问题最后剩的变量是x1,x2,x6,x8,x9,x14即可用这些自变量去建立一个回归方程。
例2.本例共有10个自变量，X已经中心化和标准化了，的特征根为：
3.692，1.542，1.293，1.046，0.972，
0.659，0.357，0.220，0.152，0.068
最后一个特征根=0.068,较接近于零7.368,条件数k=7.368<10从条件数的角度看，似乎设计矩阵X没有多重共线性。但下面的研究表明，作岭回归还是必要的。关于条件数，这里附带说明它的一个缺陷，就是当所有特征根都较小时，虽然条件数不大，但多重共线性却存在。
下面作岭回归分析。对15个k值算出，画出岭迹，如下图所示，从图中可以看到，最小二乘估计的稳定性很差，这反映在当k与0略有偏离时，与=就有较大的差距，特别是||和||下降最多。当k从0上升到0.1时，下降到的59%，而在正交设计的情形只下降17%。这些现象在直观上就使人怀疑最小二乘估计是否反映了的真实情况。

另外，因素x5的回归系数的最小二乘估计为负回归系数中绝对值最大的，但当k增加时，迅速上升且变为正的，与此相反，对因素x6，为正的，且绝对值最大，但当k增加时，迅速下降。再考虑到x5，x6样本相关系数达到0.84，因此这两个因素可近似地合并为一个因素。
再看x7，它的回归系数估计绝对值偏高，当k增加时，很快接近于0，这意味着x7实际上对y无多大影响。至于x1，其回归系数的最小二乘估计绝对值看来有点偏低，当k增加时，||首先迅速上升，成为对因变量有负影响的最重要的自变量。当k较大时，||稳定地缓慢趋于零。这意味着，通常的最小二乘估计对x1的重要性估计过低了。

从整体上看，当k达到0.2～0.3的范围时，各个已大体上趋于稳定，因此，在这区间上取一个k值作岭回归可能得到较好的效果。本例中和当k从0略增加时，很快趋于0，于是它们很自然是应该剔除的。去掉它们之后，重作岭回归分析，岭迹基本稳定。因此去掉x5和x7是合理的。
八、实例分析——用岭回归处理多重共线性问题
（注！如果希望回归方程中保留一些自变量，那么岭回归方法是很有用的方法。）
例：用岭回归方法处理民航客运数据的多重共线性问题。

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