重庆版2022届高三上学期第一次月考-数学文-Word版含答案.docx

第一次月考数学文试题【重庆版】

一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．

2、命题“若函数在上是减函数，则”的否命题是（ ）
A．若函数在上不是减函数，则
B．若函数在上是减函数，则
C．若，则函数在上是减函数
D．若，则函数在上不是减函数

3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名同学在一次英语听力测试中的
成果（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为 16.8，则的值分别为（ ）
A． 5,2 B． 5,5 C． 8,5 D．8,8

4、下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．

5、阅读右边程序框图，为使输出的数据为，
则推断框中应填入的条件为（ ）
A． B．
C． D．

6、设，，,则（　　 ）
A． B．
C． D．

7、若函数的相邻两个零点的距离为，且它的一条对称轴为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．

8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（ ）

4
3
2
3
3
正视图
左视图
俯视图

A．30 B．24
C．18 D．12

9、已知函数，
，则（ ）
A． B． C． D．

10、已知函数,且方程在区间内有两个不等的实根, 则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.[2,4]

二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）
11、已知集合，，则

12、若两个非零向量满足，则向量与的夹角为

13、在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点，则点恰好落在其次象限的概率为

14、已知直线和直线，若抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为2，则抛物线的方程为

15、给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.重庆武中高2021级某学霸经探究发觉：任何一个一元三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若，则

三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）
城市公交车的数量太多简洁造成资源的铺张，太少又难以满足乘客的需求，为此，重庆市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如图所示（单位：min），回答下列问题．
组别
候车时间
人数
一

2
二

6
三

4
四

2
五

1
(Ⅰ)估量这60名乘客中候车时间少于10min的人数；
(Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）
在中，角的对边分别为，若向量，
，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积的最大值.

18、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）
已知函数为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为.
(Ⅰ)求的解析式； (Ⅱ)若，求的值.

19、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）
已知函数．
（I）若时，求曲线在点处的切线方程；
（II）若，函数没有零点，求的取值范围．

20、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）
如图，正方形所在平面与直角三角形所在的平面相互垂直，，设分别是的中点，已知，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

21、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．若分别过椭圆的左、右焦点的动直线相交于点，且与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得为定值？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
A
A
D
B
B
C

二、填空题：
题号
11
12
13
14
15
答案

三、解答题：
16、解：(Ⅰ)候车时间少于10min的概率为，
故候车时间少于10min的人数为.
(Ⅱ)将第三组乘客分别用字母表示，第四组乘客分别用字母表示，则随机选取的人全部可能如，共有15种不同的状况，其中两人恰好来自不同组包含8种状况，故所求概率为.

17、解：（Ⅰ）由于，所以，即
故 又，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得
又（当且仅当时取等号），故，即
故

18、解：(Ⅰ)由于为偶函数，故，
从而.
再由图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为，知，
从而，故. 所以.
(Ⅱ) 原式.
由条件知，平方得，从而.

19、解：（I） ，切点为，，故切线方程为.
（II）当时，在定义域上没有零点，满足题意；
当时，函数与在定义域上的状况如下表：

0
+

↘
微小值
↗

是函数的微小值，也是函数的最小值，
所以，当，即时，函数没有零点.
综上所述，当时，没有零点.

20、解：(Ⅰ)证明：取中点，连接.由于为的中位线，所以
；又由于,所以
所以四边形为平行四边形，故，而平面，平面，
所以平面；
(Ⅱ)由于平面，所以：

由于,所以平面，故,从而：

由于,所以平面,故,从而：

在中，,
所以的面积
所以（其中表示点到平面的距离），
即，解出，
所以点到平面的距离为.

21、解：(Ⅰ) 设椭圆的方程为，则
故椭圆的方程为。
(Ⅱ)当斜率不存在时，易知P点为；
当斜率存在时，设斜率分别为，设，联立
，则，故
。
同理
。由于，所以，即
。又，故。
设点，则，即。
由当斜率不存在时，P点为也满足在椭圆上。
故存在定点Ｍ、Ｎ为，使得点Ｐ满足为定值。