四川省绵阳市南山中学2022届高三零诊考试数学试题(文)-Word版含答案.docx

2021年8月
绵阳南山中学2021年秋季2022届零诊考试
数 学 试 题（文科）
命题范围：绵阳市统考一诊内容 命题人：张家寿 审题人：王怀修
一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分.
1. 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的真子集共有 (　　)．
A.1个 B.3个 C.5个 D.7个
2. 已知函数，则(　　)

3. 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
4．曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
5. 已知函数，，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数的最小正周期为2
B．函数的最大值为1
C．将函数的图象向右平移单位后得的图象
D．将函数的图象向左平移单位后得的图象
6．如下左图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t＞0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是(　　)．

7. 下列推断正确的是(　　)
A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题“”的否定是“ ”
8. 设，且 则+ln2的单调减区间为(　　)
A. B. C. D.
9. 定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值(　　)
A．恒为负值 B．等于 C．恒为正值 D．不大于
10. 设实数x，y满足，则的取值范围是(　　)
　 A. B. C. D.
11. 已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是(　　)
A. 18 B. 16 C. 9 D. 4
12. 已知正实数，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 .
14．已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无微小值，则的取值范围是 .
15．已知中，内角的对边的边长为，且,则
的值为 .
16. 已知定义在上的奇函数满足，且时，. 现有以下甲，乙，丙，丁四个结论：
甲：；
乙：函数在上是增函数；
丙：函数关于直线对称；
丁：若，则关于的方程在上全部根之和为-8.
则其中正确结论的序号是______________．
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，请判定△ABC的外形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

18．（10分）已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

19．（12分）已知二次函数为偶函数，且集合A=为单元素集合.
（1）求的解析式;
（2）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围．

20．（12分）南山中学近几年规模不断壮大，同学住宿特殊紧急，学校拟用1000万元购一块空地，方案在该空地上建筑一栋至少8层，每层2000平方米的同学电梯公寓．经测算，假如将公寓建为x(x≥8)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用y关于建筑层数x的函数关系式；
(2)该公寓应建筑多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
（结果精确到1元）
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

21. （12分）已知函数f(x)＝.
(1)推断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的周期和单调区间；
(3)若关于x的不等式f(x)≥m2-m有解，求实数m的取值范围．

22. （14分）已知函数
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）若函数在上是最小值为，求的值；
（3）当（其中=2.718 28…是自然对数的底数）.

零诊参考答案(数文)
一、选择题： BDBCC CDB A A AD
二、填空题：13. ; 14. ; 15. 0; 16. 甲,丁
三、解答题
17.解：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，
∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S＝absinC＝×4×sin＝
18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
则∴∴an＝a1qn－1＝3n－1.
∴等比数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)设等差数列{bn}的公差为d，则T3＝b1＋b2＋b3＝3b2＝15，∴b2＝5.
又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)，
即(3＋5)2＝(1＋b1)(9＋b3)，64＝(6－d)(14＋d)．∴d＝－10或d＝2.
∴(舍去)或
∴Tn＝nb1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n.
19. （1）
（2）若在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即
若在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
即
20. 解(1)依题意得y＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋ ( x≥8，x∈N* )；
(2)提示：均值不等式失效，求导或由x=10时，y=1540；x=11时，y=1543.
故该公寓应建筑10层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540元．
21. 解：(1)由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
∴f(x)的定义域关于原点对称．当x≠＋，k∈Z时，
f(x)＝＝＝＝3cos2x－1，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵f(x)＝3cos2x－1＝3×－1＝＋cos2x.∴T＝＝π，∴f(x)的最小正周期为π.
增区间为，减区间为
(3)当x≠＋(k∈Z)时，0≤cos2x≤1且cos2x≠，∴－1≤3cos2x－1≤2且3cos2x－1≠，
∴f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}．由关于x的不等式f(x)≥m2-m有解得2≥m2-m
解得－1≤m≤2
22.解：（1）
同理，令 ∴f(x)单调递增区间为，单调递减区间为.
由此可知
（2）
当时，F（x）在上单调递增，，，舍去；
当时，在单调递减， ， 舍去；
若，在单调递减，在单调递增，
，.
综上所述：
（3）由（I）可知当时，有，
即. .