(北师大版)数学必修1同步测试：第一章集合1.1.docx

第一章　§1　

一、选择题
1．下列对象能构成集合的是(　　)
A．江西某中学全部有爱心的女生
B．青岛某中学部分特长生
C．中国的出名唱歌家
D．大于π的自然数
[答案]　D
[解析]　A中“有爱心”的标准不明确，B中“部分”不明确，C中“出名唱歌家”的标准不明确，D中π≈3.14，所以大于π的自然数为4,5,6，….
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　)
A.∈M B．0∉M
C．1∈M D．－∈M
[答案]　D
[解析]　>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．
3．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
[答案]　B
[解析]　验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；
若x＝1时，x2＝1，不合题意；
若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.
4．给出下列语句：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④0∈∅.
其中正确语句的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故选A.
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC确定不是(　　)
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案]　B
[解析]　依据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.
6．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
[答案]　A
[解析]　本题考查分类争辩思想及一元二次方程问题．若a＝0，则有1＝0明显不成立；若a≠0，则有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a＝4.
二、填空题
7．用符号“∈”或“∉”填空：
(1)________R; (2)________Q；
(3)2________N＋； (4)0.3________Z.
[答案]　(1)∈　(2)∈　(3)∈　(4)∉
[解析]　(1)∵是实数，∴∈R；
(2)∵是有理数，∴∈Q；
(3)∵N＋是正整数集，∴2∈N＋；
(4)∵0.3是小数，∴0.3∉Z.
8．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．
[答案]　{－1,1}
[解析]　∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能是－1,1.
三、解答题
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解析]　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
解得x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5∉B，求a的值．
[解析]　∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.
∴a＝2或a＝－4.
又∵5∉B，∴|a＋3|≠5.
∴a≠2且a≠－8.
∴a＝－4.

一、选择题
1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．－2
C．6 D．2
[答案]　C
[解析]　解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C.
解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故选C.
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
[答案]　C
[解析]　∵x∈A，y∈A，
当x＝0时，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1时，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；
当x＝2时，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.
由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．
二、填空题
3．集合{，，，，}可用特征性质描述法表示为________．
[答案]　{x|x＝，n∈N＋，n≤5}
[解析]　将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.、、、、，可得，n∈N＋，n≤5.
4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中全部元素之和为________．
[答案]　2
[解析]　∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴该集合中全部元素之和为2.
三、解答题
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){－3，－1,1,3,5}；
(2){x||x|≤3，x∈Z}；
(3){1,22,32,42，…}；
(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P；
(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，写出集合B.
[解析]　(1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(3){x|x＝n2，n∈N＋}．
(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．
(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，
所以B＝{3,0，－1}．
6．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
[解析]　(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．由于x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②是函数y＝x2＋1的全部函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上全部点的坐标组成的集合．
7．某争辩性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1,2,3，…，8.现指导老师打算派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x号同学去，则8－x号同学也去．请你依据老师的要求回答下列问题：
(1)若只有一个名额，请问应当派谁去？
(2)若有两个名额，则有多少种分派方法？
[解析]　本题实质是考查集合中元素的特性，只有一个名额等价于x＝8－x，有两个名额则为x和8－x.
(1)分派去图书馆查数据的全部同学构成一个集合，记作M，则有x∈M,8－x∈M.
若只有一个名额，即M中只有一个元素，必需满足x＝8－x，故x＝4，所以应当派学号为4的同学去．
(2)若有两个名额，即M中有且仅有两个不同的元素x和8－x，从而全部含有两个元素的集合M应含有1,7或2,6或3,5.也就是有两个名额的分派方法有3种．