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2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第8篇-第6讲-双曲线.docx
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1、第6讲双曲线最新考纲1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简洁的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的实际背景及双曲线的简洁应用3理解数形结合的思想.知 识 梳 理1双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1,F2(|F1F2|2c0)的距离之差的确定值为常数2a(2a2c),则点P的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e
2、,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的生疏(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的确定值等于8的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)(2021新课标全国卷改编)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则C的
3、渐近线方程为yx.()(5)(2021陕西卷改编)双曲线1的离心率为,则m等于9.()(6)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提示双曲线定义中的“差”必需是“确定值的差”,常数必需小于|F1F2|且大于零,如(1)中应为双曲线的一支;如(2)中应为两条射线2二个防范一是双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,而双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,应留意其区分与联系,如(4);二是直线与双曲线交于一点时,不肯定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时, 直线与双曲线仅有一个交点,如(6)考点一双曲线
4、的定义及应用【例1】 (1)若双曲线1上的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是() A4 B12 C4或12 D6(2)已知F为双曲线C:1的左焦点,P,Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_解析(1)由题意知c4,设双曲线的左焦点为F1(4,0),右焦点为F2(4,0),且|PF2|8.当P点在双曲线右支上时,|PF1|PF2|4,解得|PF1|12;当P点在双曲线左支上时,|PF2|PF1|4,解得|PF1|4,所以|PF1|4或12,即P到它的左焦点的距离为4或12.(2)由1得a3,b4,c5.|PQ|4b162a.又
5、A(5,0)在线段PQ上,P,Q在双曲线的右支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知|PF|QF|28.PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案(1)C(2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言:PM|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键,切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时,弄清点在双曲线的哪支上【训练1】 (1)(2022大连模拟)设P是双曲线1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|9,则|PF2|()A1 B17 C1或17 D以上答案均不对(2)已知F是
6、双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为()A5 B54 C7 D9解析(1)由双曲线定义|PF1|PF2|8,又|PF1|9,|PF2|1或17,但应留意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421,|PF2|17.(2)如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4,则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得,当A,P、E三点共线时,(|PE|PA|)min|AE|5,从而|PF|PA|的最小值为9.答案(1)B(2)D考点二求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线1(a0,b0)和椭圆1有相同的焦点,
7、且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线,且过点M(2,2)的双曲线方程为_解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(,0),F2(,0),离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点,因此a2b27.又双曲线的离心率e,所以,所以a2,b2c2a23,故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k,将点(2,2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.答案(1)1(2)1规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再依据a,b,c,e及渐近线之间的关系,
8、求出a,b的值假如已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为(0),再由条件求出的值即可.【训练2】 依据下列条件,求双曲线的标准方程(1)虚轴长为12,离心率为;(2)焦距为26,且经过点M(0,12)(3)经过两点P(3,2)和Q(6,7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0)由题意知,2b12,e.b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12.又2c26,c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双
9、曲线的标准方程为1.考点三双曲线的几何性质【例3】 (1)(2021湖南卷)设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F230,则C的离心率为_(2)设F1,F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析(1)由于PF1PF2,PF1F230,所以|PF2|F1F2|c,|PF1|F1F2|c.由双曲线的定义知,|PF1|PF2|2a,即cc2a,所以离心率e1.(2
10、)设PF1的中点为M,由|PF2|F1F2|,故F2MPF1,即|F2M|2a,在直角三角形F1F2M中,|F1M|2b,故|PF1|4b,依据双曲线的定义4b2c2a,即2bac,即(2ba)2a2b2,即3b24ab0,即3b4a,故双曲线的渐近线方程是yx,即yx,即4x3y0.答案(1)1(2)C规律方法 在双曲线的几何性质中,涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,e表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解(2)求曲线1(a0,b0)的渐近线的方法是令0,
11、即得两渐近线方程0.【训练3】 (1)设点P在双曲线1(a,b0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0,则该双曲线的离心率为_解析(1)由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|4|PF2|,所以4|PF2|PF2|2a,所以|PF2|a,|PF1|a,所以整理得ac,所以,即e,又e1,所以1e.(2)当焦点在x轴上时,即,所以e2,解得e;当焦点在y轴上时,即,所以e2,解得e,即双曲线的离心率为或.答案(1)(2)或 1双曲线的很多问题与椭圆有相像之处,在学习中要留意应用类比
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