新课标2021-2022学年高二上学期第一次月考-数学(理)-Word版含答案.docx

2021-2022学年上学期第一次月考
高二数学理试题【新课标】
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题.
1.已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为(　　)
A.∃x∈R，x<sinx B.∀x∈R，x≤sinx C.∃x∈R， x≤sinx D．∀x∈R，x<sinx
2.到两定点的距离之和为8的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段 C.圆 D.直线
3．下列说法中，正确的是(　　)
A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题
B．已知x，则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件
C．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
4．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(　　)

A．24－π B．24－ C．24－π D．24－
5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线
与的斜率之积等于， 则动点的轨迹方程为 ( )
A． B．
C． D．
8．长方体一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（　　）
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
10．已知集合，集合，并且，则的范围是( )
A． B． C． D．
11．已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则 （　　）
A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为
C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为
二．填空题.
13．已知圆C：与直线相切，且圆D与圆C关于直线对称，则圆D的方程是___________。
14．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程______________.
15.椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时点P的横坐标的取值范围是_____________．
16.已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于_____________.
三、解答题。
17．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)、.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．

18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19. 双曲线的两个焦点分别为，，点
在双曲线上。
（1）求双曲线的方程；
（2）过的直线与双曲线交于不同的两点、，若的面积为，为坐标原点，求直线的方程。

20.本小题满分12分).
如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.
求证:(1)平面平面; (2).

21.已知，椭圆C过点A （1，），两个焦点为（-1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，假如直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

22.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为。
（1）求曲线的方程；
（2）若点的坐标为，是曲线上的两个相异动点，并且，求实数的取值范围；
（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。
参考答案

一．选择题1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9. D 10. A 11．A 12．A
二．填空题 13. 14．－＝1. 15. . 16.
三、解答题
(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(，2)，∴－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
18.解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.
由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.
(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，
又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；a<0时，A＝(3a，a)．
所以当a>0时，有解得1<a≤2；当a<0时，明显A∩B＝∅，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是1<a≤2.
19.（1），双曲线方程为： …………4
（2）由题意得：直线的斜率确定存在，设
得：则：解得：且
，，
点到直线的距离为：，又解得：或
所求直线方程为：或 …………12
20.明:(1)∵,∴F分别是SB的中点 ∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB 又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC
又∵EFFG=F, EF.FG平面ABC∴平面平面
(2)∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC 又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
21.：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为。由于A在椭圆上，所以，解得=3，=（舍去）。所以椭圆方程为。
（2）设直线AE方程：得代入得设E（，），F（，）由于点A（1，）在椭圆上，所以，。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得

。所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
22. （1）设：
，
又，，即所求曲线方程为 …………4
（2））设：，则由可得
故 在曲线上，消去，
得，又解得又且 …………8
（3）设直线为，则
得：
解得：①且
则直线为令X=0②
由①②得