2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-1-第2讲-直线与圆的位置关系.docx

第2讲直线与圆的位置关系1圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半2圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD(2)CAPBDP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD是O的割线(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC(2)PABPCA(1)PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理PA、PB是O的切线(1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知PA，求PB(2)求角_圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题_(1)(2022高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.(2)(2021唐山市统考)如图，ABC内接于O，ABAC，点D在O上，ADAB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AFAE，求证：BF是O的切线证明(1)由于B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.(2)连接BD.由于ADAB，所以BD是O的直径由于AEAF，所以FBAEBA.又由于ABAC，所以FBAC.又由于CD，DABD90，所以FBAABD90，即FBD90，所以BF是O的切线规律方法(1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小(2)判定切线通常有三种方法：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线1. 如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点求证：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明：(1)由于，所以BCDABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知ACEABC，所以ACEBCD.(2)由于ECA等于所对的圆周角，ACB等于所对的圆周角，所以ECB等于所对的圆周角，故ECBCDB，又由(1)知EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD._圆内接四边形的判定及性质_(2022高考课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形 证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知CBCE，得CBEE，故DE.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形规律方法证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆2.(2021长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH8，GE4，求EF的长解：(1)证明：连接DB，AB是圆O的直径，ADB90，在RtABD和RtAFG中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE，C，D，E，F四点共圆(2)C，D，E，F四点共圆，GEGFGCGD.GH是圆O的切线，GH2GCGD，GH2GEGF，又GH8，GE4，GF16，EFGFGE12._与圆有关的比例线段_(2022高考课标全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2. 证明(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.由于PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.由于PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.规律方法相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理3.(2021辽宁省五校联考) 如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，求DE的长解：设CBADx，则由割线定理得：CACDCBCE，即4(4x)x(x10)，化简得x26x160，解得x2或x8(舍去)，即CD6，CE12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以CBA90，即ABE90，则由圆的内接四边形对角互补，得D90，则CD2DE2CE2，所以62DE2122，所以DE6.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2EFECEB2，EAEB，即E为AB的中点(2)由BC为圆O的直径，易得BFCE，SBECBFCECBBE，BFa.2(2021郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知AMB90，又CDAB，所以AEFAMB90，因此A、E、F、M四点共圆(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BFBMBEBA，在RtABC中，BC2BEBA，又由MF4BF4，知BF1，BM5，所以BC25，BC.3(2021山西省四校联考) 如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA10，PB5，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：；(2)求ADAE的值解：(1)证明：PA为圆O的切线，PABACP，又P为公共角，PABPCA，.(2)PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，PA2PBPC，PC20，BC15，又CAB90，AC2AB2BC2225，又由(1)知，AC6，AB3，连接EC(图略)，则CAEEAB，ACEADB，ADAEABAC3690.4. (2021河北石家庄质量检测)如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点 (1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC2，AF2，求BDF外接圆的半径解：(1)证明：由于AB为圆O的一条直径，所以BFFH.又DHBD，故B，D，F，H四点在以BH为直径的圆上所以，B，D，F，H四点共圆(2)由题意得AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2ACAD，即(2)22AD，AD4，所以BD(ADAC)1，BFBD1.又AFBADH，则，得DH.连接BH(图略)，由(1)可知BH为BDF外接圆的直径BH，故BDF的外接圆半径为.5(2022高考辽宁卷) 如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明：(1)由于PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又由于DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角于是ED为直径由(1)得EDAB.6. (2021山西省忻州市联考)如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E、D，连接EC、CD. (1)求证：直线AB是O的切线；(2)若tan CED，O的半径为3，求OA的长解：(1)证明：如图，连接OC，OAOB，CACB，OCAB.OC是O的半径，AB是O的切线(2)ED是直径，ECD90，EEDC90，又BCDOCD90，OCDEDC，BCDE，又CBDEBC，BCDBEC，BC2BDBE.tan CED，BCDBEC，设BDx，则BC2x，BC2BDBE，(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.1. (2021兰州市、张掖市联考)如图，ABC是直角三角形，ABC90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M. (1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2DMACDMAB.证明：(1)连接BE、OE(图略)，则BEEC.又D是BC的中点，所以DEBD，又OEOB，ODOD，所以ODEODB.所以OEDOBD90，所以O、B、D、E四点共圆(2)延长DO交圆O于点H(图略)由于DE2DMDHDM(DOOH)DMDODMOH，所以DE2DM(AC)DM(AB)，所以2DE2DMACDMAB.2(2021云南省第一次统一检测)已知：如图，P是O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.(1)求证：PAPBPOPE；(2)若DECF，P15，O的半径等于2，求弦CF的长解：(1)证明：连接OD.AB是O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在O上，DOADCF，PODPCE.又DPOEPC，PDOPEC，即PDPCPOPE.由割线定理得PAPBPDPC，PAPBPOPE.(2)由已知，直线AB是弦DF的垂直平分线，EDEF，DEHFEH.DECF，DEHFEH45.由PECFEH45，P15，得DCF60.由DOADCF，得DOA60.在RtDHO中，OD2，DHODsinDOH，DEEF，CE，CFCEEF.3. (2021沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D. (1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CDCA.证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，AC是圆O1的直径，APC90.连接O1O2必过点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，BAPACP，AO1P2.由于O1AAB，O2BAB，BO2P2，O2BP.又ABPO2BP90，ABPBAP90，C、P、B三点共线(2)CD切圆O2于点D，CD2CPCB.在ABC中，CAB90，又APBC，CA2CPCB，故CDCA.4. 如图，点A是以线段BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF并延长与CB的延长线相交于点P. (1)求证：BFEF；(2)求证：PA是O的切线证明：(1)BE是O的切线，EBBC.又ADBC，ADBE.可以得知BFCDGC，FECGAC，又G是AD的中点，DGAG.BFEF.(2)如图，连接AO，AB.BC是O的直径，BAC90.在RtBAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，AFFBEF.FBAFAB.又OAOB，ABOBAO.BE是O的切线，EBO90.EBOFBAABOFABBAOFAO90，PA是O的切线