甘肃省天水一中2021届高三下学期5月中旬仿真考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

天水一中2021届高考全仿真考试试题
数 学 (理科）
一.选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）
1设全集为R, 函数的定义域为M, 则为( ) 　　
A．(-∞,1) B．(1, + ∞) C． D．
2.若复数（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　）
　 A． 1 B． ﹣1 C． D．
3.函数的图象大致是 ( )

A． B． C． D．
4.下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线方程必过；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；
其中错误的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
6．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点离地面2m，
风车翼片的一个端点P从Po开头按逆时针方向旋转，则点P离地面距离
h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7.设函数. 若实数a, b满足, 则( )
A． B．
C． D．
8．执行如右图所示的程序框图,输出的S值为（ ）开头
是
否

输出
结束

A．1 B． C． D．
9.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于( )．3 ．4 ． ．
10.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )
A． B． C． D．
11.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
． ． ． ．
12.将边长为2的等边沿轴正方向滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：
①的值域为；②是周期函数；
③；④，其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13. 若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为
14.已知的开放式中的系数是－35，
则＝
15．四棱锥的三视图如图所示,四棱锥的五个顶
点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球
面所截得的线段长为，则该球表面积为 ．
16． 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 的取值范围是 。
三、 解答题（共70分）
17.（本题满分12分）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
男 女
8 8 6 16 8
6 5 4 3 2 17 6
5 4 2 18 5 6
3 2 1 19 0 2
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
18、（本题满分12分）某公司从高校招收毕业生，经过
综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业
生的测试成果如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：
成果在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙
部门工作，另外只有成果高于180分的男生才能担当助理工作．
（1）假如用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？
（2）若从全部甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担当助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
19．（本题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足．
（1）求证：；（2）求点的距离；
E
F
M
x
y
O
（3）求二面角的平面角的余弦值。
20、（本题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一
点，且的周长是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆T：，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且时，求EF的斜率的取值范围．
21．（本题满分12分）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<ex；
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

选考题：本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分
22、（10分）如图，已知和相交于两点，为
的直径，直线交于点，点为的中点，连接分
别交，于点，连接。
（1）求证：； （2）求证：。
23、（10分） 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立
平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）。
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的一般方程；
（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积。
24、（10分） 设函数。
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围。

数学理科
1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.C 10. C
11.D【解析】
试题分析：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为.
考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值.
12. D
13. － 14. 1 15．12
16.【解析】由知进而可得，则有，所以（舍去），又，故的取值范围是。
17．解：(1)由于anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，
所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.
(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，
所以Sn＝(n－1)3n＋1.
18、解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，依据茎叶图，甲部门入选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有4人，乙部门人选有4人。用大事A表示至少有一名甲部门人选被选中，则P(A)=，因此至少有一人是甲部门人选的概率是 …………6分
(2)依题意，X的取值分别是0，1，2，3
，
，
因此，X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
1/30
3/10
1/2
1/6
………11分
所以X的数学期望 ………………12

19，（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.
由于三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC. ………4分
（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) ,
有由，满足，
所以E(1，2，0), F(0，1，1)
所以,
所以点的距离。 ………8分
（3） 。 …………12分
20、解：（1）由，可知a=4b，
由于的周长是，所以,
所以a=4,b=1,所求椭圆方程为 …………………………4分
（2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M与圆T相切的直线方程为，
由直线与T相切可知，
即
，…………6分
由得
同理 ………8分

……………11分
当1<t<3时，为增函数,故EF的斜率的范围为
21解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.
又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.
令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x<ln 2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得微小值，且微小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.
(3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex.
故当x>0时，x2<cex.
取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.
②若0<c<1，令k＝>1，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立．
而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．
令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.
所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．
取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．
又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，
易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.
方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．
(3)对任意给定的正数c，取x0＝，
由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex＝e·e>·，
当x>x0时，ex>>＝x2，
因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.
方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．
(3)首先证明当x∈(0，＋∞)时，恒有x3<ex.
证明如下：
令h(x)＝x3－ex，则h′(x)＝x2－ex.
由(2)知，当x>0时，x2<ex，
从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝－1<0，即x3<ex.
取x0＝，当x>x0时，有x2<x3<ex.
因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.
22、证明：（1）已知为的直径，连接，则，由点为弧的中点可知，故，所以有，即。（5分）
（2）由（1）知，故，
所以，即（10分）
23、（1）对于：由，得，进而。
对于：由（为参数），得，即。（5分）
（2）由（1）可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，
弦长，
因此以为边的圆的内接矩形面积。（10分）
24、（1）当时，， 由
得或或，解得或
即函数的定义域为。（5分）
（2）由题可知恒成立，即恒成立，
而，所以，即的取值范围为（10分）